4.2. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS
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Ejemplo 4.22. Considere la función f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dada por f (n) =
2n. Entonces por simple inspección se verifica que el rango de f es el conjunto {2, 4, 6, 8}.
2
Ejemplo 4.23. Considere la función f : R \ {2} → R dada por
f (x) =
x
.
x−2
Para hallar el rango de f debemos determinar cuales números reales son de la forma
Para hacerlo consideremos la ecuación
x
.
x−2
x
= y.
x−2
Debemos “despejar” x de esta ecuación. Tenemos entonces que
x = (x − 2)y.
Luego
x − xy = −2y.
Y por lo tanto
x=
−2y
.
1−y
Usando esta última ecuación mostraremos que si y = 1, entonces y está en el rango de f . En
efecto, sea y = 1, conseguiremos un real z tal que f (z) = y. Sea
z=
−2y
.
1−y
Verificaremos que f (z) = y. En efecto,
f (z) =
−2y
1−y
−2y
−
1−y
2
=
−2y
1−y
−2y−2+2y
1−y
=
−2y
= y.
−2
Hemos mostrado que
rango(f ) = R \ {1}.
2
Ejemplo 4.24. Considere la función f : P(N) → P(N) dada por
f (A) = A ∪ {2, 3}