CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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Fijemos un elemento y cualquiera del contradominio, es decir y ∈ Q. Queremos hallar x tal
que
2x + 1 = y.
En muchos ejemplos para hallar tal x lo que hacemos es “despejar” x de una ecuación. En el
ejemplo que estamos analizando tenemos que
2x = y − 1
y por lo tanto
x=
Es claro que
y−1
2
y−1
.
2
∈ Q y ahora verificaremos que la imagen de
g
y−1
2
=2
y−1
2
y−1
2
es y. En efecto,
+ 1 = (y − 1) + 1 = y.
2
Ejemplo 4.21. Consideremos la función f : N × N → N, definida por f ((n, m)) = n.
Mostraremos que f es sobreyectiva. Para entender mejor la definición de f calculemos algunas
imágenes. Por ejemplo tenemos que
f ((5, 0)) = 5, f ((1, 1)) = 1, f ((0, 0)) = 0.
Esto nos dice que 5, 1 y 0 tienen (al menos una) preimagen, respectivamente (5, 0), (1, 1)
y (0, 0). Pero esto no es suficiente para garantizar que g es sobreyectiva. Debemos mostrar
que dado cualquier elemento del contradominio n ∈ N, existe un elemento del dominio
(x, y) ∈ N × N tal que f ((x, y)) = n. Los ejemplos anteriores sugieren una respuesta. En
efecto, notemos que
f ((n, 0)) = n
para cualquier n ∈ N, esto dice que (n, 0) es una preimagen de n y por lo tanto n ∈ rango(f )
para todo natural n.
Observemos que en el ejemplo anterior, el conjunto de preimágenes de cada elemento del
contradominio es un conjunto infinito. Por ejemplo, las preimágenes del 3 son todos los pares
ordenados que tienen la forma (3, m), en símbolos,
{(n, m) ∈ N × N : f ((n, m)) = 3} = {(3, m) : m ∈ N}.
Esto nos dice que f está muy lejos de ser una función inyectiva.
2
Para determinar si una función es sobreyectiva es crucial poder conseguir su rango. En
los próximos ejemplos calcularemos el rango de algunas funciones.