4.2. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS
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Cuando f (x) = y se dice que y es la imagen de x y también diremos que x es una
preimagen de y. En el caso que y ∈ rango(f ), diremos que y no tiene preimagen.
Notemos que la sobreyectividad indica que en el grafo de la función a todo elemento del
contradominio le llega al menos una flecha (pero puede ser más de una). El primero de los
diagramas que siguen corresponde a una función sobreyectiva, en cambio el segundo no.
g
f
A
B
4
4
4
B
4
A
4
3
3
4
4
3
3
3
3
3
Ejemplo 4.19. Considere la función f : {−1, 0, 1, 2} → {0, 1, 4} definida por f (x) = x 2 .
Mostraremos que f es sobreyectiva. Debemos mostrar lo siguiente:
Para todo y ∈ {0, 1, 4} existe x ∈ {−1, 0, 1, 2} tal que f (x) = y.
Como el contradominio de f , el conjunto {0, 1, 4}, tiene sólo 3 elementos, podemos verificar
esta afirmación con una simple inspección de todos los casos posibles.
(i) Para y = 0, en efecto existe x ∈ {−1, 0, 1, 2} tal que f (x) = 0, precisamente x = 0. Es
decir, la preimagen del 0 es el 0.
(ii) Para y = 1, tenemos que existe x ∈ {−1, 0, 1, 2} tal que x2 = 1. En realidad existen dos
elementos del dominio que tiene imagen igual a 1: f (1) = 12 = 1 y f (−1) = (−1)2 = 1.
Es decir, 1 tiene dos preimágenes: 1 y -1.
(iii) Para y = 4, tenemos que f (2) = 22 = 4. Es decir, la preimagen del 4 es el 2.
Hemos entonces verificado que todo elemento del contradominio de f es la imagen de
algún elemento del dominio de f . En otras palabras, el rango de f es {0, 1, 4}.
2
Ejemplo 4.20. Sea g : Q → Q definida por g(x) = 2x+1. Mostraremos que g es sobreyectiva.
Debemos mostrar lo siguiente:
Para todo y ∈ Q existe x ∈ Q tal que 2x + 1 = y.
3
Por ejemplo, tomando y igual a 4 es claro que g( 2 ) = 3 + 1 = 4. Es decir, 3 es una preimagen
2
de 4. En este ejemplo no podemos mostrar la sobreyectividad de g analizando todos los
casos posibles como lo hicimos en el ejemplo anterior, pues el contradominio de g tiene una
cantidad infinita de elementos. Es por esta razón que necesitamos un argumento general.