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4.2. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS 105 Sea f : A → B una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) (ii) f es inyectiva. Para todo a, a ∈ A, si f (a) = f (a ), entonces a = a . Dejamos la verificación de este hecho al lector (ver ejercicio 9). En los siguientes ejemplos haremos uso de esta caracterización de la inyectividad. Ejemplo 4.14. Considere la función f : N → N dada por f (n) = n + 1. Mostraremos que f es inyectiva. Usaremos el criterio de inyectividad enunciado en el recuadro anterior. Fijemos dos naturales n, m y supongamos que f (n) = f (m). Debemos mostrar que n = m. En efecto, nuestra suposición nos asegura que n + 1 = m + 1. Restando 1 en ambos lados de la igualdad obtenemos que n = m. 2 Ejemplo 4.15. Considere la función g : N → N dada por g(n) = n2 . Mostraremos que g es inyectiva. Usaremos otra vez el criterio anterior. Debemos probar que Si g(n) = g(m), entonces n = m. Es decir, Si n2 = m2 , entonces n = m. En efecto, fijemos n, m ∈ N y supongamos que n2 = m2 . De esto tenemos que n2 − m2 = 0. Factorizando obtenemos que (n + m)(n − m) = 0. Hay dos casos a considerar: (i) n + m = 0 y (ii) n − m = 0. Como n, m ∈ N, entonces n, m ≥ 0. Por lo tanto en el caso (i) tenemos que n = −m y entonces necesariamente se cumple que n = m = 0. En el caso (ii) tenemos obviamente que n = m. 2 En el ejemplo que sigue usaremos la definición original de inyectividad. Ejemplo 4.16. Defina h : Z → Z de la siguiente manera: h(x) = 2x − 1 , si x < 0 3x + 1 , si 0 ≤ x. Mostraremos que h es inyectiva. Tomemos dos enteros x, y distintos y mostremos que h(x) = h(y). Hay cuatro casos posibles, los consideraremos por separado. (i) Supongamos que x < 0 y y < 0. En este caso, por la definición de h, tenemos que h(x) = 2x − 1 y h(y) = 2y − 1. Como x = y es claro que 2x = 2y y por lo tanto 2x − 1 = 2y − 1. Es decir que h(x) = h(y). (ii) Supongamos que x ≥ 0 y y ≥ 0. En este caso, por la definición de h, tenemos que h(x) = 3x + 1 y h(y) = 3y + 1. Como x = y es claro que 3x = 3y y por lo tanto 3x + 1 = 3y + 1. Es decir, h(x) = h(y).