CAPÍTULO 4. FUNCIONES
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2. Sea A = {a, b, c}, B = {3, 4} y R = {(a, 3), (b, 3)}. Tenemos que R es una relación
entre A y B. Pero R no es una función. Pues el elemento c no está relacionado con
ningún elemento de B, esto es, la condición (1) no se cumple.
3. Sea A = {1, 2}, B = {3, 4, 5} y R = {(1, 3), (2, 4)}. En este caso R es una función.
Pues para cada a ∈ A existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ R.
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Las funciones se denotan generalmente con las letras f, g, h y en lugar de escribir a f b
para indicar que a está relacionado con b se escribe
f (a) = b.
Diremos que f (a) (que se lee “f de a”) es la imagen de a bajo f . También se dice “la imagen
de a por f ” o que b es el “valor” que toma f en a. Para indicar que f es una función de A en
B escribimos
f : A → B.
Ya dijimos que A se llama el dominio de f y B se le llama contradominio. Un subconjunto
de B que juega un papel importante en el estudio de las funciones es el rango el cual se
define de la siguiente manera:
rango(f ) = {b ∈ B : b = f (a) para algún a ∈ A}.
El rango de una función es el conjunto formado por las imágenes de los elementos del dominio
y es por esto que también se acostumbra llamarlo el conjunto imagen. Como veremos en
los ejemplos, en general, B no es igual al rango.
El conjunto de todas las funciones de un conjunto A en un conjunto B se denota por
BA.
Ejemplos 4.3.
1. Usualmente las funciones se presentan a través de una “regla” que
asigna a cada elemento de A un único elemento de B. Por ejemplo, consideremos los
conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y la regla que asigna a cada número
a ∈ A el número 2a. Usualmente expresamos esta regla de asignación escribiendo
f (a) = 2a,
pero también se acostumbra a escribir
a → 2a.
De esta manera hemos definido una función de A en B. El siguiente conjunto representa
a f como un conjunto de pares ordenados:
{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}.