CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 92
El signo de f ′′ es pues el mismo que el de x ( x 2 − 1 ) ( x ≠ ± 1 ). Por lo tanto , f ′′ ( x ) se anula sólo para x = 0 , es negativa en ( −∞ , −1 ), positiva en ( −1,0 ), negativa de nuevo en ( 0,1 ) y positiva en ( 1 , ∞ ). Luego f tiene un punto de inflexión en 0 , es convexa en los intervalo ( −1,0 ) y ( 1 , ∞ ) y cóncava en ( −∞ , −1 ) y en ( 0,1 ). Esta información permite dibujar con mucha aproximación la gráfica de f ( fig . 4.11 ).
30
20
10
-2 -1 1 2 -10
-20
-30
Figura 4.11 : gráfica de la función f ( x ) = x /( x 2 − 1 )
Supongamos que se nos pide calcular los extremos de f en el intervalo [ 0,5 ]. Como 1 ∈ [ 0,5 ], f no está acotada ( ni superior ni inferiormente ) en [ 0,5 ]; por tanto , f no tiene extremos en dicho intervalo .
Ejemplo 4.31 . Sea ahora
f ( x ) =
1 1 + | x | + 1
1 + | x − 3 | , ∀x ∈ R .
La función f es continua en todo R ( los dos sumandos son cocientes de funciones continuas con denominador no nulo en todo R ). Sin embargo , no está claro si son derivables en 0 y 3 ( la función valor absoluto no es derivable en el origen ). Por tanto , deberemos estudiar f por separado en los intervalos ( −∞ , 0 ], [ 0,3 ] y [ 3 , ∞ ).
En ( −∞ , 0 ]
Por tanto f ( x ) = 1 1 − x + 1
1 + 3 − x = 1 1 − x + 1
4 − x , x ≤ 0 . f ′ ( x ) =
1 ( 1 − x ) 2 + 1
( 4 − x ) 2 > 0 , ∀x < 0 , y 1 f ′ ( 0 − 0 ) = 17 / 16 . Luego f es creciente en ( −∞ , 0 ], siendo
1 f ′ f ( h ) − f ( 0 ) ( 0 − 0 ) = lím h→0− h el teorema del valor medio . lím f ( x ) = 0 . x→−∞
= lím h→0− f ′ ( c h ) ( con c h ∈ ( h , 0 )) = lím x→0− f ′ ( x ), por