CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 92
El signo de f ′′ es pues el mismo que el de x( x 2 − 1)( x ≠ ± 1). Por lo tanto, f ′′( x) se anula sólo para x = 0, es negativa en( −∞, −1), positiva en( −1,0), negativa de nuevo en( 0,1) y positiva en( 1, ∞). Luego f tiene un punto de inflexión en 0, es convexa en los intervalo( −1,0) y( 1, ∞) y cóncava en( −∞, −1) y en( 0,1). Esta información permite dibujar con mucha aproximación la gráfica de f( fig. 4.11).
30
20
10
-2-1 1 2-10
-20
-30
Figura 4.11: gráfica de la función f( x) = x /( x 2 − 1)
Supongamos que se nos pide calcular los extremos de f en el intervalo [ 0,5 ]. Como 1 ∈ [ 0,5 ], f no está acotada( ni superior ni inferiormente) en [ 0,5 ]; por tanto, f no tiene extremos en dicho intervalo.
Ejemplo 4.31. Sea ahora
f( x) =
1 1 + | x | + 1
1 + | x − 3 |, ∀x ∈ R.
La función f es continua en todo R( los dos sumandos son cocientes de funciones continuas con denominador no nulo en todo R). Sin embargo, no está claro si son derivables en 0 y 3( la función valor absoluto no es derivable en el origen). Por tanto, deberemos estudiar f por separado en los intervalos( −∞, 0 ], [ 0,3 ] y [ 3, ∞).
En( −∞, 0 ]
Por tanto f( x) = 1 1 − x + 1
1 + 3 − x = 1 1 − x + 1
4 − x, x ≤ 0. f ′( x) =
1( 1 − x) 2 + 1
( 4 − x) 2 > 0, ∀x < 0, y 1 f ′( 0 − 0) = 17 / 16. Luego f es creciente en( −∞, 0 ], siendo
1 f ′ f( h) − f( 0)( 0 − 0) = lím h→0− h el teorema del valor medio. lím f( x) = 0. x→−∞
= lím h→0− f ′( c h)( con c h ∈( h, 0)) = lím x→0− f ′( x), por