CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 91
xe – x2
1 √2
√3 √2 x
Figura 4.10 : gráfica de la función f ( x ) = xe −x2
ya que el numerador tiende a 1 y el denominador es positivo y tiende a cero . Aproximándonos por la izquierda obtenemos x lím x→1− x 2 − 1 = −∞ ,
ya que ahora x > 0 y x 2 − 1 < 0 para x < 1 suficientemente próximo a 1 ( por ejemplo , para 0 < x < 1 . Como f es impar ,
lím f ( x ) = lím f ( −t ) = − lím f ( t ) = ∞ , x→−1 + t→1− t→1−
lím f ( x ) = lím f ( −t ) = − lím f ( t ) = −∞ . x→−1− t→1 + t→1 +
En particular , las rectas x = ± 1 son asíntotas verticales de la gráfica de f .
La derivada de f es la función racional con dominio R − { −1,1 } dada por f ′ ( x ) = x2 − 1 − x · 2x
( x 2 − 1 ) 2 = − x2 + 1
( x 2 − 1 ) 2 < 0 , ∀x ≠ ± 1 .
Por tanto , f es decreciente en los intervalos ( −∞ , −1 ), ( −1,1 ) y ( 1 , ∞ ). Nótese que f no es decreciente en todo R (¿ por qué esto no contradice la Proposición 4.21 ?). Esto , junto con el hecho de que f ( 0 ) = 0 , ya nos permite dibujar en líneas generales la gráfica de f .
Para tener una idea más precisa del comportamiento de f , podemos determinar las regiones de concavidad y convexidad de su gráfica . Para ello lo mejor es calcular la derivada segunda de f :
f ′′ ( x ) = − ( x2 − 1 ) 2 · 2x + 2 ( x 2 + 1 ) · 2x ( x 2 − 1 ) ( x 2 − 1 ) 4
2x =
( x 2 − 1 ) 3 [ 1 − x2 + 2 ( x 2 + 1 )] = 2x ( x2 + 3 )
( x 2 − 1 ) 3 .