CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 91
xe – x2
1 √2
√3 √2 x
Figura 4.10: gráfica de la función f( x) = xe −x2
ya que el numerador tiende a 1 y el denominador es positivo y tiende a cero. Aproximándonos por la izquierda obtenemos x lím x→1− x 2 − 1 = −∞,
ya que ahora x > 0 y x 2 − 1 < 0 para x < 1 suficientemente próximo a 1( por ejemplo, para 0 < x < 1. Como f es impar,
lím f( x) = lím f( −t) = − lím f( t) = ∞, x→−1 + t→1− t→1−
lím f( x) = lím f( −t) = − lím f( t) = −∞. x→−1− t→1 + t→1 +
En particular, las rectas x = ± 1 son asíntotas verticales de la gráfica de f.
La derivada de f es la función racional con dominio R − { −1,1 } dada por f ′( x) = x2 − 1 − x · 2x
( x 2 − 1) 2 = − x2 + 1
( x 2 − 1) 2 < 0, ∀x ≠ ± 1.
Por tanto, f es decreciente en los intervalos( −∞, −1),( −1,1) y( 1, ∞). Nótese que f no es decreciente en todo R(¿ por qué esto no contradice la Proposición 4.21?). Esto, junto con el hecho de que f( 0) = 0, ya nos permite dibujar en líneas generales la gráfica de f.
Para tener una idea más precisa del comportamiento de f, podemos determinar las regiones de concavidad y convexidad de su gráfica. Para ello lo mejor es calcular la derivada segunda de f:
f ′′( x) = −( x2 − 1) 2 · 2x + 2( x 2 + 1) · 2x( x 2 − 1)( x 2 − 1) 4
2x =
( x 2 − 1) 3 [ 1 − x2 + 2( x 2 + 1)] = 2x( x2 + 3)
( x 2 − 1) 3.