CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 90
Ejemplo 4.29 . Sea f : R → R definida por f ( x ) = xe −x2 ; dibujaremos esquemáticamente la gráfica de f utilizando los resultados de este capítulo .
En primer lugar , es claro que f es infinitamente derivable en todo R , ya que es el producto de un polinomio por la función x ↦→ e −x2 , que es la composición de exp con un polinomio . Además , f es claramente una función impar . El comportamiento de f en el infinito se deduce fácilmente aplicando la regla de L ’ Hospital :
lím x→ ± ∞ xe−x2 = lím x→ ± ∞ x e x2 = lím x→ ± ∞
1 2xe x2 = 0 .
Además , f ( x ) > 0 para x > 0 y f ( x ) < 0 para x < 0 . La derivada primera de f se calcula fácilmente : f ′ ( x ) = e −x2 ( 1 − 2x 2 )
Los ceros de f ′ están en los puntos ± 1 / √ 2 . El signo de f ′ es el mismo que el de 1−2x 2 , es decir f ′ ( x ) < 0 si x < −1 / √ 2 , f ′ ( x ) > 0 si −1 / √ 2 < x < 1 / √ 2 , y f ′ ( x ) < 0 si x > 1 / √ 2 . Por tanto , f tiene un mínimo local en −1 / √ 2 y un máximo local en 1 / √ 2 , y estos son los únicos extremos locales de f . ( En general , si f es impar ( resp . par ) y a es un máximo local de f entonces −a es un mínimo ( resp . máximo ) local de f , y viceversa .)
Con estos datos ya es posible dibujar esquemáticamente la gráfica de f . Sin embargo , podemos obtener aún más información sobre el comportamiento de la función estudiando el signo de f ′′ , lo cual nos permitirá determinar las regiones en que la gráfica de f es cóncava ó convexa . Un sencillo cálculo proporciona :
f ′′ ( x ) = e −x2 [
−4x − 2x ( 1 − 2x 2 ) ] = 2xe −x2 ( 2x 2 − 3 ).
Por tanto , f ′′ ( x ) = 0 para x = 0 , ± √ 3 / √ 2 , f ′′ ( x ) < 0 para x < − √ 3 / √ 2 , f ′′ ( x ) > 0 si − √ 3 / √ 2 < x < 0 , f ′′ ( x ) < 0 si 0 < x < √ 3 / √ 2 , y f ′′ ( x ) > 0 para x > √ 3 / √ 2 . Por tanto , f es cóncava en los intervalos ( −∞ , − √ 3 / √ 2 ] y [ 0 , √ 3 / √ 2 ], y convexa en [ − √ 3 / √ 2,0 ] y [ √ 3 / √ 2 , ∞ ). Además , los puntos 0 , ± √ 3 / √ 2 son puntos de inflexión de la función . La gráfica de f tiene por tanto el aspecto que muestra la fig . 4.10 .
Ejemplo 4.30 . Consideremos la función f : R → R definida por f ( x ) = x /( x 2 − 1 ), para todo x ≠ ± 1 . En este caso , f es de nuevo impar , y es infinitamente diferenciable ( es una función racional ) para x ≠ ± 1 . El comportamiento de f cerca de los puntos singulares ( no pertenecen al dominio de la función ) ± 1 se averigua calculando el lím x→ ± 1 f ( x ). Como f es impar , basta estudiar el comportamiento en las proximidades de 1 . En primer lugar ,
lím f ( x ) = lím x x→1 + x→1 + x 2 − 1 = ∞ ,