CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 90
Ejemplo 4.29. Sea f: R → R definida por f( x) = xe −x2; dibujaremos esquemáticamente la gráfica de f utilizando los resultados de este capítulo.
En primer lugar, es claro que f es infinitamente derivable en todo R, ya que es el producto de un polinomio por la función x ↦→ e −x2, que es la composición de exp con un polinomio. Además, f es claramente una función impar. El comportamiento de f en el infinito se deduce fácilmente aplicando la regla de L’ Hospital:
lím x→ ± ∞ xe−x2 = lím x→ ± ∞ x e x2 = lím x→ ± ∞
1 2xe x2 = 0.
Además, f( x) > 0 para x > 0 y f( x) < 0 para x < 0. La derivada primera de f se calcula fácilmente: f ′( x) = e −x2( 1 − 2x 2)
Los ceros de f ′ están en los puntos ± 1 / √ 2. El signo de f ′ es el mismo que el de 1−2x 2, es decir f ′( x) < 0 si x < −1 / √ 2, f ′( x) > 0 si −1 / √ 2 < x < 1 / √ 2, y f ′( x) < 0 si x > 1 / √ 2. Por tanto, f tiene un mínimo local en −1 / √ 2 y un máximo local en 1 / √ 2, y estos son los únicos extremos locales de f.( En general, si f es impar( resp. par) y a es un máximo local de f entonces −a es un mínimo( resp. máximo) local de f, y viceversa.)
Con estos datos ya es posible dibujar esquemáticamente la gráfica de f. Sin embargo, podemos obtener aún más información sobre el comportamiento de la función estudiando el signo de f ′′, lo cual nos permitirá determinar las regiones en que la gráfica de f es cóncava ó convexa. Un sencillo cálculo proporciona:
f ′′( x) = e −x2 [
−4x − 2x( 1 − 2x 2) ] = 2xe −x2( 2x 2 − 3).
Por tanto, f ′′( x) = 0 para x = 0, ± √ 3 / √ 2, f ′′( x) < 0 para x < − √ 3 / √ 2, f ′′( x) > 0 si − √ 3 / √ 2 < x < 0, f ′′( x) < 0 si 0 < x < √ 3 / √ 2, y f ′′( x) > 0 para x > √ 3 / √ 2. Por tanto, f es cóncava en los intervalos( −∞, − √ 3 / √ 2 ] y [ 0, √ 3 / √ 2 ], y convexa en [ − √ 3 / √ 2,0 ] y [ √ 3 / √ 2, ∞). Además, los puntos 0, ± √ 3 / √ 2 son puntos de inflexión de la función. La gráfica de f tiene por tanto el aspecto que muestra la fig. 4.10.
Ejemplo 4.30. Consideremos la función f: R → R definida por f( x) = x /( x 2 − 1), para todo x ≠ ± 1. En este caso, f es de nuevo impar, y es infinitamente diferenciable( es una función racional) para x ≠ ± 1. El comportamiento de f cerca de los puntos singulares( no pertenecen al dominio de la función) ± 1 se averigua calculando el lím x→ ± 1 f( x). Como f es impar, basta estudiar el comportamiento en las proximidades de 1. En primer lugar,
lím f( x) = lím x x→1 + x→1 + x 2 − 1 = ∞,