CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 89
Como f ′ es creciente en( a, b) ⊂( c, d), tenemos que g ′( x) > 0 para x ∈( a, ξ) y g ′( x) < 0 para x ∈( ξ, b). Al ser g continua en [ a, b ], la Proposición 4.21 implica que g es creciente en [ a, ξ ] y decreciente en [ ξ, b ]. De esto se sigue que
x ∈( a, ξ ] = ⇒ g( x) > g( a) = 0, x ∈ [ ξ, b) = ⇒ g( x) > g( b) = 0. Por tanto, g( x) > 0 para todo x ∈( a, b). Q. E. D.
Corolario 4.27. Sea f: R → R dos veces derivable en( c, d) y continua en [ c, d ]. Si f ′′( x) > 0 para todo x ∈( c, d), entonces f es convexa en [ c, d ].
Demostración. En efecto, al ser f ′′ positiva en( c, d) f ′ es creciente en dicho intervalo. Q. E. D.
Corolario 4.28. Sea f: R → R dos veces derivable en un intervalo abierto centrado en a ∈ R. Si f ′′( a) > 0 y f ′′ es continua en a, entonces f es convexa en un intervalo de la forma( a − δ, a + δ) para algún δ > 0.
Demostración. Por el teorema de conservación del signo, f ′′ es positiva en [ a − δ, a + δ ] para algún δ > 0. Q. E. D.
Evidentemente, todos los resultados anteriores se traducen en resultados análogos para funciones cóncavas sin más que cambiar f en −f. Por ejemplo, si f es continua en [ c, d ] y f ′′ es negativa en( c, d) entonces f es cóncava en [ c, d ].
Supongamos que f es derivable dos veces en( c, d), y sea f ′′( a) = 0 en un punto a ∈( c, d). Si f ′′ cambia de signo en a, entonces la gráfica de f cambia de cóncava a convexa( si f ′′ < 0 en( a − δ, a) y f ′′ > 0 en( a, a + δ)) ó de convexa a cóncava( si f ′′ > 0 en( a − δ, a) y f ′′ < 0 en( a, a + δ)) en a. Se dice en tal caso que f tiene un punto de inflexión en a( cf. fig. 4.9).
f( x) a x
Figura 4.9: función con punto de inflexión en a