CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 89
Como f ′ es creciente en ( a , b ) ⊂ ( c , d ), tenemos que g ′ ( x ) > 0 para x ∈ ( a , ξ ) y g ′ ( x ) < 0 para x ∈ ( ξ , b ). Al ser g continua en [ a , b ], la Proposición 4.21 implica que g es creciente en [ a , ξ ] y decreciente en [ ξ , b ]. De esto se sigue que
x ∈ ( a , ξ ] = ⇒ g ( x ) > g ( a ) = 0 , x ∈ [ ξ , b ) = ⇒ g ( x ) > g ( b ) = 0 . Por tanto , g ( x ) > 0 para todo x ∈ ( a , b ). Q . E . D .
Corolario 4.27 . Sea f : R → R dos veces derivable en ( c , d ) y continua en [ c , d ]. Si f ′′ ( x ) > 0 para todo x ∈ ( c , d ), entonces f es convexa en [ c , d ].
Demostración . En efecto , al ser f ′′ positiva en ( c , d ) f ′ es creciente en dicho intervalo . Q . E . D .
Corolario 4.28 . Sea f : R → R dos veces derivable en un intervalo abierto centrado en a ∈ R . Si f ′′ ( a ) > 0 y f ′′ es continua en a , entonces f es convexa en un intervalo de la forma ( a − δ , a + δ ) para algún δ > 0 .
Demostración . Por el teorema de conservación del signo , f ′′ es positiva en [ a − δ , a + δ ] para algún δ > 0 . Q . E . D .
Evidentemente , todos los resultados anteriores se traducen en resultados análogos para funciones cóncavas sin más que cambiar f en −f . Por ejemplo , si f es continua en [ c , d ] y f ′′ es negativa en ( c , d ) entonces f es cóncava en [ c , d ].
Supongamos que f es derivable dos veces en ( c , d ), y sea f ′′ ( a ) = 0 en un punto a ∈ ( c , d ). Si f ′′ cambia de signo en a , entonces la gráfica de f cambia de cóncava a convexa ( si f ′′ < 0 en ( a − δ , a ) y f ′′ > 0 en ( a , a + δ )) ó de convexa a cóncava ( si f ′′ > 0 en ( a − δ , a ) y f ′′ < 0 en ( a , a + δ )) en a . Se dice en tal caso que f tiene un punto de inflexión en a ( cf . fig . 4.9 ).
f ( x ) a x
Figura 4.9 : función con punto de inflexión en a