CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 88
lo que implica ( multiplicando por −h 2 ( h 1 − h 2 ) > 0 , simplificando y dividiendo por h 1 h 2 > 0 )
Q ( h 1 ) > Q ( h 2 ), ∀h 2 < h 1 < 0 , a + h 2 ∈ J .
Por tanto , Q ( h ) es también monótona creciente para h < 0 ( a + h ∈ J ), de donde se deduce que
h < 0 , a + h ∈ J = ⇒ f ′ ( a ) > Q ( h ). ( 4.13 ) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en ( a , f ( a )) es y ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a )( x − a );
por tanto , dicha recta estará por debajo de la gráfica de f en el punto ( a + h , f ( a + h )) ( con h ≠ 0 , a + h ∈ J ) si
h [ Q ( h ) − f ′ ( a ) ] > 0 , lo cual se cumple en virtud de ( 4.12 ) y ( 4.13 ). Q . E . D .
Proposición 4.26 . Sea f : R → R una función continua en el intervalo [ c , d ] ( con c < d ) y derivable en ( c , d ). Entonces f es convexa en [ c , d ] si y sólo si f ′ es creciente en ( c , d ).
Demostración .
= ⇒ ) Supongamos que f es convexa en [ c , d ], y sea c < a < b < d . Por el lema anterior , la derivada de f en a es menor que el cociente incremental en a para h = b − a > 0 , es decir
f ′ ( a ) < f ( b ) − f ( a ) . b − a
Análogamente , f ′ ( b ) ha de ser mayor que el cociente incremental en b para h = a − b < 0 , es decir f ′ ( b ) > f ( a ) − f ( b ) , a − b de donde se sigue que f ′ ( a ) < f ′ ( b ). Por tanto , f ′ es creciente en ( c , d ).
⇐ =) Supongamos ahora que f ′ sea una función creciente en ( c , d ), y sea c ≤ a < b ≤ d . Hay que probar que
g ( x ) = ( x − a ) f ( b ) − f ( a ) b − a
− f ( x ) + f ( a ) > 0 , ∀a < x < b .
Por el teorema del valor medio , existe ξ ∈ ( a , b ) tal que g ′ ( x ) = f ′ ( ξ ) − f ′ ( x ).