CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 88
lo que implica( multiplicando por −h 2( h 1 − h 2) > 0, simplificando y dividiendo por h 1 h 2 > 0)
Q( h 1) > Q( h 2), ∀h 2 < h 1 < 0, a + h 2 ∈ J.
Por tanto, Q( h) es también monótona creciente para h < 0( a + h ∈ J), de donde se deduce que
h < 0, a + h ∈ J = ⇒ f ′( a) > Q( h).( 4.13) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en( a, f( a)) es y( x) = f( a) + f ′( a)( x − a);
por tanto, dicha recta estará por debajo de la gráfica de f en el punto( a + h, f( a + h))( con h ≠ 0, a + h ∈ J) si
h [ Q( h) − f ′( a) ] > 0, lo cual se cumple en virtud de( 4.12) y( 4.13). Q. E. D.
Proposición 4.26. Sea f: R → R una función continua en el intervalo [ c, d ]( con c < d) y derivable en( c, d). Entonces f es convexa en [ c, d ] si y sólo si f ′ es creciente en( c, d).
Demostración.
= ⇒) Supongamos que f es convexa en [ c, d ], y sea c < a < b < d. Por el lema anterior, la derivada de f en a es menor que el cociente incremental en a para h = b − a > 0, es decir
f ′( a) < f( b) − f( a). b − a
Análogamente, f ′( b) ha de ser mayor que el cociente incremental en b para h = a − b < 0, es decir f ′( b) > f( a) − f( b), a − b de donde se sigue que f ′( a) < f ′( b). Por tanto, f ′ es creciente en( c, d).
⇐ =) Supongamos ahora que f ′ sea una función creciente en( c, d), y sea c ≤ a < b ≤ d. Hay que probar que
g( x) =( x − a) f( b) − f( a) b − a
− f( x) + f( a) > 0, ∀a < x < b.
Por el teorema del valor medio, existe ξ ∈( a, b) tal que g ′( x) = f ′( ξ) − f ′( x).