CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 87
Análogamente , f será cóncava en J si
a , b ∈ J , a < x < b = ⇒ f ( x ) − f ( a ) x − a
> f ( b ) − f ( a ) . b − a
Deduciremos en esta sección un criterio muy sencillo para comprobar si una función es cóncava ó convexa en un intervalo en función del signo de su derivada segunda . Empezaremos con el siguiente resultado acerca de la tangente a la gráfica de una función convexa :
f ( x ) y ( x )
f ( a ) a x
Figura 4.8 : tangente a la gráfica de una función convexa
Lema 4.25 . Si f es convexa en un intervalo J y derivable en a ∈ J , entonces la gráfica de f queda por encima de la tangente a f en ( a , f ( a )) excepto en el punto ( a , f ( a )) mismo ( cf . fig . 4.8 ).
Demostración . Si a < a + h 1 < a + h 2 pertenecen a J entonces la convexidad de f implica f ( a + h 1 ) − f ( a ) < f ( a + h 2 ) − f ( a )
. h 1 h 2 En otras palabras , el cociente incremental en a
Q ( h ) = f ( a + h ) − f ( a ) h
es una función creciente para h > 0 tal que a + h ∈ J . Esto implica que
h > 0 , a + h ∈ J = ⇒ f ′ ( a ) < Q ( h ) ( 4.12 )
( en efecto , Q ( t ) − Q ( h ) < 0 para 0 < t < h implica que f ′ ( a ) − Q ( h ) = lím t→0 + [ Q ( t ) − Q ( h )] ≤ 0 por el principio de conservación del signo ; la monotonía de Q implica entonces que f ′ ( a ) < Q ( h )). Análogamente , si a + h 2 < a + h 1 < a se tiene
f ( a + h 1 ) − f ( a + h 2 ) h 1 − h 2
< f ( a ) − f ( a + h 2 )
−h 2
,