CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 87
Análogamente, f será cóncava en J si
a, b ∈ J, a < x < b = ⇒ f( x) − f( a) x − a
> f( b) − f( a). b − a
Deduciremos en esta sección un criterio muy sencillo para comprobar si una función es cóncava ó convexa en un intervalo en función del signo de su derivada segunda. Empezaremos con el siguiente resultado acerca de la tangente a la gráfica de una función convexa:
f( x) y( x)
f( a) a x
Figura 4.8: tangente a la gráfica de una función convexa
Lema 4.25. Si f es convexa en un intervalo J y derivable en a ∈ J, entonces la gráfica de f queda por encima de la tangente a f en( a, f( a)) excepto en el punto( a, f( a)) mismo( cf. fig. 4.8).
Demostración. Si a < a + h 1 < a + h 2 pertenecen a J entonces la convexidad de f implica f( a + h 1) − f( a) < f( a + h 2) − f( a)
. h 1 h 2 En otras palabras, el cociente incremental en a
Q( h) = f( a + h) − f( a) h
es una función creciente para h > 0 tal que a + h ∈ J. Esto implica que
h > 0, a + h ∈ J = ⇒ f ′( a) < Q( h)( 4.12)
( en efecto, Q( t) − Q( h) < 0 para 0 < t < h implica que f ′( a) − Q( h) = lím t→0 + [ Q( t) − Q( h)] ≤ 0 por el principio de conservación del signo; la monotonía de Q implica entonces que f ′( a) < Q( h)). Análogamente, si a + h 2 < a + h 1 < a se tiene
f( a + h 1) − f( a + h 2) h 1 − h 2
< f( a) − f( a + h 2)
−h 2
,