CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 86
Por el teorema del valor medio de Cauchy ,
∀x ∈ ( a , a + δ ) ∃c x ∈ ( x , d ) tal que f ( x ) − f ( d ) g ( x ) − g ( d ) = f ′ ( c x ) g ′ ( c x ) .
Pero entonces se tiene
f ( x ) g ( x ) = f ′ ( c x ) g ′ ( c x ) Q ( x , d ) > 2M · 1 2 = M ,
lo cual prueba que f ( x )/ g ( x ) tiende a ∞ cuando x → a +. Finalmente , si l = −∞ basta aplicar lo anterior a −f ( x )/ g ( x ). Q . E . D .
4.6 . Convexidad
Definición 4.24 . Una función f : R → R es convexa en un intervalo J si para todo a , b ∈ J el segmento que une los puntos ( a , f ( a )) y ( b , f ( b )) queda por encima de la gráfica de f en ( a , b ). Se dice que f es cóncava en J si −f es convexa en J .
La caracterización análitica de la convexidad es muy sencilla . En efecto ( véase la fig . 4.7 ), f es convexa en J si para todo a , b ∈ J y para todo x ∈ ( a , b ) se verifica y ( x ) > f ( x ).
f ( b )
y ( x )
f ( x ) f ( a ) a x b
Figura 4.7 : gráfica de una función convexa
Como y ( x ) = f ( a ) + ( x − a ) f ( b ) − f ( a ) , b − a f será convexa en J si y sólo si se cumple :
a , b ∈ J , a < x < b = ⇒ f ( x ) − f ( a ) x − a
< f ( b ) − f ( a ) . b − a