CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 86
Por el teorema del valor medio de Cauchy,
∀x ∈( a, a + δ) ∃c x ∈( x, d) tal que f( x) − f( d) g( x) − g( d) = f ′( c x) g ′( c x).
Pero entonces se tiene
f( x) g( x) = f ′( c x) g ′( c x) Q( x, d) > 2M · 1 2 = M,
lo cual prueba que f( x)/ g( x) tiende a ∞ cuando x → a +. Finalmente, si l = −∞ basta aplicar lo anterior a −f( x)/ g( x). Q. E. D.
4.6. Convexidad
Definición 4.24. Una función f: R → R es convexa en un intervalo J si para todo a, b ∈ J el segmento que une los puntos( a, f( a)) y( b, f( b)) queda por encima de la gráfica de f en( a, b). Se dice que f es cóncava en J si −f es convexa en J.
La caracterización análitica de la convexidad es muy sencilla. En efecto( véase la fig. 4.7), f es convexa en J si para todo a, b ∈ J y para todo x ∈( a, b) se verifica y( x) > f( x).
f( b)
y( x)
f( x) f( a) a x b
Figura 4.7: gráfica de una función convexa
Como y( x) = f( a) +( x − a) f( b) − f( a), b − a f será convexa en J si y sólo si se cumple:
a, b ∈ J, a < x < b = ⇒ f( x) − f( a) x − a
< f( b) − f( a). b − a