CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 85
Demostración . Supongamos en primer lugar que l es finito . Dado ɛ > 0 , sea d ∈ ( a , b ) tal que f ′ ( t ) ∣g ′ ( t ) − l
∣ < 2 | l | + 1 ɛ , ∀t ∈ ( a , d ).
2 | l | + 1 + ɛ 2
Escojamos a continuación 0 < h < d − a tal que f ( x ) ≠ 0 , g ( x ) ≠ 0 , f ( x ) ≠ f ( d ) y g ( x ) ≠ g ( d ) si a < x < a + h ; tal h existe , ya que lím x→a + f ( x ) = ± ∞ y lím x→a + g ( x ) = ± ∞ . Podemos entonces definir Q ( x , d ) para x ∈ ( a , a + h ) mediante
Despejando Q se obtiene
y por tanto f ( x ) g ( x ) = f ( x ) − f ( d ) · Q ( x , d ), ∀x ∈ ( a , a + h ). g ( x ) − g ( d )
Q ( x , d ) = g ( x ) −g ( d ) g ( x )
f ( x ) −f ( d ) f ( x )
= 1 − g ( d )
g ( x )
1 − f ( d ) , ∀x ∈ ( a , a + h ), f ( x )
lím Q ( x , d ) = 1 . x→a +
Por otra parte , aplicando el teorema del valor medio de Cauchy a f y g en el intervalo [ x , d ] ( nótese que f y g son diferenciables en todos los puntos de dicho intervalo ) obtenemos
∀x ∈ ( a , a + h ) ∃c x ∈ ( x , d ) tal que f ( x ) − f ( d ) g ( x ) − g ( d ) = f ′ ( c x ) g ′ ( c x ) .
Como lím x→a + Q ( x , d ) = 1 , existe 0 < δ < h tal que | Q ( x , d ) − 1 | < a < x < a + δ . Entonces
f ( x ) ∣g ( x ) − l
∣ = f ′ ( c x ) ∣g ′ ( c x ) Q ( x , d ) − l
∣ ≤ f ′ ( c x ) ∣g ′ ( c x ) − l
∣ + ɛ f ′ ( c x ) 2 | l | + 1 ∣g ′ ( c x ) ∣
( ) ɛ ≤ 1 + f ′ ( c x ) 2 | l | + 1 ∣g ′ ( c x ) − l
∣ + | l | ɛ 2 | l | + 1
≤ ɛ 2 + ɛ = ɛ , ∀x ∈ ( a , a + δ ), 2
lo cual muestra que f ( x )/ g ( x ) → l cuando x → a +. Si l = ∞ , dado M > 0 existe d ∈ ( a , b ) tal que ɛ 2 | l |+ 1 si t ∈ ( a , d ) ⇒ g ( x ) ≠ 0 , f ′ ( t ) g ′ ( t ) > 2M , y podemos escoger 0 < δ < d − a tal que Q ( x , d ) > 1 , ∀x ∈ ( a , a + δ ).
2