CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 85
Demostración. Supongamos en primer lugar que l es finito. Dado ɛ > 0, sea d ∈( a, b) tal que f ′( t) ∣g ′( t) − l
∣ < 2 | l | + 1 ɛ, ∀t ∈( a, d).
2 | l | + 1 + ɛ 2
Escojamos a continuación 0 < h < d − a tal que f( x) ≠ 0, g( x) ≠ 0, f( x) ≠ f( d) y g( x) ≠ g( d) si a < x < a + h; tal h existe, ya que lím x→a + f( x) = ± ∞ y lím x→a + g( x) = ± ∞. Podemos entonces definir Q( x, d) para x ∈( a, a + h) mediante
Despejando Q se obtiene
y por tanto f( x) g( x) = f( x) − f( d) · Q( x, d), ∀x ∈( a, a + h). g( x) − g( d)
Q( x, d) = g( x) −g( d) g( x)
f( x) −f( d) f( x)
= 1 − g( d)
g( x)
1 − f( d), ∀x ∈( a, a + h), f( x)
lím Q( x, d) = 1. x→a +
Por otra parte, aplicando el teorema del valor medio de Cauchy a f y g en el intervalo [ x, d ]( nótese que f y g son diferenciables en todos los puntos de dicho intervalo) obtenemos
∀x ∈( a, a + h) ∃c x ∈( x, d) tal que f( x) − f( d) g( x) − g( d) = f ′( c x) g ′( c x).
Como lím x→a + Q( x, d) = 1, existe 0 < δ < h tal que | Q( x, d) − 1 | < a < x < a + δ. Entonces
f( x) ∣g( x) − l
∣ = f ′( c x) ∣g ′( c x) Q( x, d) − l
∣ ≤ f ′( c x) ∣g ′( c x) − l
∣ + ɛ f ′( c x) 2 | l | + 1 ∣g ′( c x) ∣
() ɛ ≤ 1 + f ′( c x) 2 | l | + 1 ∣g ′( c x) − l
∣ + | l | ɛ 2 | l | + 1
≤ ɛ 2 + ɛ = ɛ, ∀x ∈( a, a + δ), 2
lo cual muestra que f( x)/ g( x) → l cuando x → a +. Si l = ∞, dado M > 0 existe d ∈( a, b) tal que ɛ 2 | l |+ 1 si t ∈( a, d) ⇒ g( x) ≠ 0, f ′( t) g ′( t) > 2M, y podemos escoger 0 < δ < d − a tal que Q( x, d) > 1, ∀x ∈( a, a + δ).
2