CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 84
4.5. Reglas de L’ Hospital
En esta sección aplicaremos el teorema del valor medio de Cauchy para deducir un método muy poderoso para calcular límites indeterminados conocido genéricamente como regla de L’ Hospital.( Este método se debe, en realidad, a Johann Bernoulli, quién lo desarrolló en 1692 y lo incluyó en el primer texto de Cálculo Diferencial que se conoce, escrito para su alumno Guillaume-François-Antoine de L’ Hospital y publicado en 1696 por este último.)
Proposición( primera regla de L’ Hospital). Sean f, g: R → R derivables en( a, b), y supóngase que lím x→a + f( x) = lím x→a + g( x) = 0. Si g ′ no se anula en( a, b) y lím x→a +
[ f ′( x)/ g ′( x) ] = l, donde se admite que l sea un número real, ∞ ó −∞, entonces lím x→a +
[ f( x)/ g( x)
] = l.
Demostración. Si( re) definimos f( a) = g( a) = 0, lo cual no cambia el valor de lím x→a + [ f( x)/ g( x)], entonces f y g son continuas por la derecha en a. Si a < x < b, como f y g son diferenciables en x son continuas en dicho punto, y son por tanto continuas en el intervalo [ a, x ]. Aplicando el teorema del valor medio de Cauchy a f y g en dicho intervalo, vemos que existe c x ∈( a, x) tal que f( x) − f( a) g( x) − g( a) = f( x) g( x) = f ′( c x) g ′( c x).
Como c x ∈( a, x), c x → a + cuando x → a +. Por tanto
f( x) lím x→a + g( x) = lím f ′( c x) x→a + g ′( c x) = lím f ′( t) t→a + g ′( t) = l.
Q. E. D.
La proposición anterior admite múltiples variantes. Por ejemplo, es obviamente cierta si f y g son derivables en( c, a) y continuas por la izquierda en a, siendo lím x→a− f( x) = lím x→a− g( x) = 0. En tal caso, si g ′ no se anula en( c, a) y lím x→a−
[ f ′( x)/ g ′( x) ] = l entonces lím x→a−
[ f( x)/ g( x)
]
= l. Como consecuencia de lo anterior, si f y g son derivables en A =( a−h, a + h) − { a }( con h > 0), lím x→a f( x) = lím x→a g( x) = 0, g ′ no se anula en A y
lím x→a
[ f ′( x)/ g ′( x) ] = l, entonces lím x→a
[ f( x)/ g( x)
] = l.
Otra variante útil de la regla de L’ Hospital es la siguiente:
Proposición( segunda regla de L’ Hospital). Sean f, g: R → R derivables en( a, b), y sea lím x→a + f( x) = ± ∞, lím x→a + g( x) = ± ∞. Si g ′ no se anula en( a, b) y lím x→a +
[ f ′( x)/ g ′( x) ] = l, donde l puede ser un número real, ∞ ó −∞, entonces lím x→a +
[ f( x)/ g( x)
] = l.