CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 84
4.5 . Reglas de L ’ Hospital
En esta sección aplicaremos el teorema del valor medio de Cauchy para deducir un método muy poderoso para calcular límites indeterminados conocido genéricamente como regla de L ’ Hospital . ( Este método se debe , en realidad , a Johann Bernoulli , quién lo desarrolló en 1692 y lo incluyó en el primer texto de Cálculo Diferencial que se conoce , escrito para su alumno Guillaume-François-Antoine de L ’ Hospital y publicado en 1696 por este último .)
Proposición ( primera regla de L ’ Hospital ). Sean f , g : R → R derivables en ( a , b ), y supóngase que lím x→a + f ( x ) = lím x→a + g ( x ) = 0 . Si g ′ no se anula en ( a , b ) y lím x→a +
[ f ′ ( x )/ g ′ ( x ) ] = l , donde se admite que l sea un número real , ∞ ó −∞ , entonces lím x→a +
[ f ( x )/ g ( x )
] = l .
Demostración . Si ( re ) definimos f ( a ) = g ( a ) = 0 , lo cual no cambia el valor de lím x→a + [ f ( x )/ g ( x )], entonces f y g son continuas por la derecha en a . Si a < x < b , como f y g son diferenciables en x son continuas en dicho punto , y son por tanto continuas en el intervalo [ a , x ]. Aplicando el teorema del valor medio de Cauchy a f y g en dicho intervalo , vemos que existe c x ∈ ( a , x ) tal que f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) = f ( x ) g ( x ) = f ′ ( c x ) g ′ ( c x ) .
Como c x ∈ ( a , x ), c x → a + cuando x → a +. Por tanto
f ( x ) lím x→a + g ( x ) = lím f ′ ( c x ) x→a + g ′ ( c x ) = lím f ′ ( t ) t→a + g ′ ( t ) = l .
Q . E . D .
La proposición anterior admite múltiples variantes . Por ejemplo , es obviamente cierta si f y g son derivables en ( c , a ) y continuas por la izquierda en a , siendo lím x→a− f ( x ) = lím x→a− g ( x ) = 0 . En tal caso , si g ′ no se anula en ( c , a ) y lím x→a−
[ f ′ ( x )/ g ′ ( x ) ] = l entonces lím x→a−
[ f ( x )/ g ( x )
]
= l . Como consecuencia de lo anterior , si f y g son derivables en A = ( a−h , a + h ) − { a } ( con h > 0 ), lím x→a f ( x ) = lím x→a g ( x ) = 0 , g ′ no se anula en A y
lím x→a
[ f ′ ( x )/ g ′ ( x ) ] = l , entonces lím x→a
[ f ( x )/ g ( x )
] = l .
Otra variante útil de la regla de L ’ Hospital es la siguiente :
Proposición ( segunda regla de L ’ Hospital ). Sean f , g : R → R derivables en ( a , b ), y sea lím x→a + f ( x ) = ± ∞ , lím x→a + g ( x ) = ± ∞ . Si g ′ no se anula en ( a , b ) y lím x→a +
[ f ′ ( x )/ g ′ ( x ) ] = l , donde l puede ser un número real , ∞ ó −∞ , entonces lím x→a +
[ f ( x )/ g ( x )
] = l .