CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 83
Nota. De forma muy parecida se demuestra que si f ′( a) = 0 pero f ′ es positiva ó negativa en( a − δ, a + δ) − { a } entonces f es monótona creciente ó decreciente en( a − δ, a + δ), y por tanto a no es un extremo local de f. Se dice en tal caso que f tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en a. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, si f está dada por f( x) = ± x 3.
Una consecuencia inmediata de la proposición anterior es el siguiente criterio para clasificar puntos críticos de f utilizando el signo de su segunda derivada:
Proposición 4.23. Supongamos que f: R → R tiene un punto crítico en a y es dos veces derivable en a.
i) Si f ′′( a) > 0, f tiene un mínimo local en a ii) Si f ′′( a) < 0, f tiene un máximo local en a iii) Si f tiene un mínimo local en a, f ′′( a) ≥ 0 iv) Si f tiene un máximo local en a, f ′′( a) ≤ 0.
Demostración. En primer lugar, es claro que los apartados pares se deducen de los impares aplicados a la función −f. Probaremos por tanto a continuación sólo los apartados impares. i) Al ser f ′′( a) =( f ′) ′( a) > 0, por la Proposición 4.14 existe δ > 0 tal que
a − δ < x < a < y < a + δ = ⇒ f ′( x) < f ′( a) = 0 < f ′( y).
( Nótese que la existencia de f ′′( a) implica que f ′ está definida en un intervalo abierto centrado en a.) En otras palabras, f ′ es negativa en( a − δ, a) y positiva en( a, a + δ). Por la proposición anterior, a es un mínimo local de f. iii) Este apartado es consecuencia inmediata del segundo. En efecto, si f ′′( a) < 0 entonces a sería un máximo local de f. Al ser a también un mínimo local de f por hipótesis, f debería ser constante en un intervalo abierto centrado en a. Pero esto implicaría que f ′′( a) = 0, lo cual contradice la suposición de que f ′′( a) < 0. Q. E. D.
Es muy importante notar que los apartados iii) y iv) son sólo recíprocos parciales de i) y ii). En otras palabras, si f tiene( por ejemplo) un máximo local en a y f ′′( a) existe no está garantizado que f ′′( a) sea negativa, ya que podría perfectamente anularse. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, con la función f: R → R dada por f( x) = −x 4.