CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 83
Nota . De forma muy parecida se demuestra que si f ′ ( a ) = 0 pero f ′ es positiva ó negativa en ( a − δ , a + δ ) − { a } entonces f es monótona creciente ó decreciente en ( a − δ , a + δ ), y por tanto a no es un extremo local de f . Se dice en tal caso que f tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en a . Esto es lo que ocurre , por ejemplo , si f está dada por f ( x ) = ± x 3 .
Una consecuencia inmediata de la proposición anterior es el siguiente criterio para clasificar puntos críticos de f utilizando el signo de su segunda derivada :
Proposición 4.23 . Supongamos que f : R → R tiene un punto crítico en a y es dos veces derivable en a .
i ) Si f ′′ ( a ) > 0 , f tiene un mínimo local en a ii ) Si f ′′ ( a ) < 0 , f tiene un máximo local en a iii ) Si f tiene un mínimo local en a , f ′′ ( a ) ≥ 0 iv ) Si f tiene un máximo local en a , f ′′ ( a ) ≤ 0 .
Demostración . En primer lugar , es claro que los apartados pares se deducen de los impares aplicados a la función −f . Probaremos por tanto a continuación sólo los apartados impares . i ) Al ser f ′′ ( a ) = ( f ′ ) ′ ( a ) > 0 , por la Proposición 4.14 existe δ > 0 tal que
a − δ < x < a < y < a + δ = ⇒ f ′ ( x ) < f ′ ( a ) = 0 < f ′ ( y ).
( Nótese que la existencia de f ′′ ( a ) implica que f ′ está definida en un intervalo abierto centrado en a .) En otras palabras , f ′ es negativa en ( a − δ , a ) y positiva en ( a , a + δ ). Por la proposición anterior , a es un mínimo local de f . iii ) Este apartado es consecuencia inmediata del segundo . En efecto , si f ′′ ( a ) < 0 entonces a sería un máximo local de f . Al ser a también un mínimo local de f por hipótesis , f debería ser constante en un intervalo abierto centrado en a . Pero esto implicaría que f ′′ ( a ) = 0 , lo cual contradice la suposición de que f ′′ ( a ) < 0 . Q . E . D .
Es muy importante notar que los apartados iii ) y iv ) son sólo recíprocos parciales de i ) y ii ). En otras palabras , si f tiene ( por ejemplo ) un máximo local en a y f ′′ ( a ) existe no está garantizado que f ′′ ( a ) sea negativa , ya que podría perfectamente anularse . Esto es lo que ocurre , por ejemplo , con la función f : R → R dada por f ( x ) = −x 4 .