CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 82
Demostración. Si x < y son dos puntos de J entonces el teorema del valor medio aplicado a f en [ x, y ] implica que existe c ∈( x, y) tal que
f( y) = f( x) + f ′( c)( y − x) = f( x), ya que( x, y) está contenido en el interior de J. Q. E. D.
Otra consecuencia importante del teorema del valor medio relaciona el signo de la derivada de f en un intervalo con la monotonía de f en dicho intervalo:
Proposición 4.21. Si f: R → R es continua en un intervalo [ a, b ]( con a < b) y derivable en( a, b), y f ′( x) > 0( resp. f ′( x) < 0) para todo x ∈( a, b), entonces f es monótona creciente( resp. monótona decreciente) en [ a, b ].
Demostración. Supongamos, por ejemplo, que f ′ es positiva en( a, b), y sean x < y dos puntos de [ a, b ]. Entonces f es continua en [ x, y ] ⊂ [ a, b ] y derivable en( x, y). Aplicando el teorema del valor medio a f en el intervalo [ x, y ] deducimos que existe c ∈( x, y) tal que
f( y) − f( x) =( y − x) f ′( c) > 0,
ya que y − x > 0 y f ′( c) > 0 al ser c ∈( x, y) ⊂( a, b). Si f ′ es negativa en( a, b), basta aplicar lo anterior a la función −f. Q. E. D.
Los resultados anteriores tienen una aplicación muy importante al cálculo de extremos locales:
Corolario 4.22. Sea a ∈ R un punto crítico de una función f: R → R derivable en algún intervalo abierto centrado en a. Si existe δ > 0 tal que f ′ es positiva en( a−δ, a) y negativa en( a, a + δ) entonces a es un máximo local de f. Análogamente, si f ′ es negativa en( a − δ, a) y positiva en( a, a + δ) entonces a es un mínimo local de f.
Demostración. La segunda de estas afirmaciones es consecuencia de la primera aplicada a la función −f. Supongamos, por tanto, que f ′ es positiva en( a − δ, a) y negativa en( a, a + δ). Por la proposición anterior,
x ∈( a − δ, a) = ⇒ f( a) − f( x) > 0, ya que f ′ es positiva en [ x, a). Análogamente, x ∈( a, a + δ) = ⇒ f( x) − f( a) < 0, al ser f ′ negativa en( a, x ]. Q. E. D.