CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 82
Demostración . Si x < y son dos puntos de J entonces el teorema del valor medio aplicado a f en [ x , y ] implica que existe c ∈ ( x , y ) tal que
f ( y ) = f ( x ) + f ′ ( c )( y − x ) = f ( x ), ya que ( x , y ) está contenido en el interior de J . Q . E . D .
Otra consecuencia importante del teorema del valor medio relaciona el signo de la derivada de f en un intervalo con la monotonía de f en dicho intervalo :
Proposición 4.21 . Si f : R → R es continua en un intervalo [ a , b ] ( con a < b ) y derivable en ( a , b ), y f ′ ( x ) > 0 ( resp . f ′ ( x ) < 0 ) para todo x ∈ ( a , b ), entonces f es monótona creciente ( resp . monótona decreciente ) en [ a , b ].
Demostración . Supongamos , por ejemplo , que f ′ es positiva en ( a , b ), y sean x < y dos puntos de [ a , b ]. Entonces f es continua en [ x , y ] ⊂ [ a , b ] y derivable en ( x , y ). Aplicando el teorema del valor medio a f en el intervalo [ x , y ] deducimos que existe c ∈ ( x , y ) tal que
f ( y ) − f ( x ) = ( y − x ) f ′ ( c ) > 0 ,
ya que y − x > 0 y f ′ ( c ) > 0 al ser c ∈ ( x , y ) ⊂ ( a , b ). Si f ′ es negativa en ( a , b ), basta aplicar lo anterior a la función −f . Q . E . D .
Los resultados anteriores tienen una aplicación muy importante al cálculo de extremos locales :
Corolario 4.22 . Sea a ∈ R un punto crítico de una función f : R → R derivable en algún intervalo abierto centrado en a . Si existe δ > 0 tal que f ′ es positiva en ( a−δ , a ) y negativa en ( a , a + δ ) entonces a es un máximo local de f . Análogamente , si f ′ es negativa en ( a − δ , a ) y positiva en ( a , a + δ ) entonces a es un mínimo local de f .
Demostración . La segunda de estas afirmaciones es consecuencia de la primera aplicada a la función −f . Supongamos , por tanto , que f ′ es positiva en ( a − δ , a ) y negativa en ( a , a + δ ). Por la proposición anterior ,
x ∈ ( a − δ , a ) = ⇒ f ( a ) − f ( x ) > 0 , ya que f ′ es positiva en [ x , a ). Análogamente , x ∈ ( a , a + δ ) = ⇒ f ( x ) − f ( a ) < 0 , al ser f ′ negativa en ( a , x ]. Q . E . D .