CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 81
El teorema del valor medio de Cauchy tiene multitud de corolarios importantes. Uno de ellos es la siguiente versión del teorema del valor medio, enunciado por primera vez por Lagrange en 1798 y llamado a veces teorema de los incrementos finitos:
Teorema del valor medio. Si f: R → R es continua en [ a, b ] y derivable en( a, b), entonces existe c ∈( a, b) tal que
f( b) = f( a) + f ′( c)( b − a).
Demostración. Basta aplicar el teorema del valor medio de Cauchy a f y g = I, ya que g ′( x) = 1 no se anula en ningún punto. Q. E. D.
El teorema anterior recibe el nombre de teorema de los incrementos finitos porque afirma que el cociente incremental f( b) −f( a) b−a es exactamente igual a la derivada de f en algún punto intermedio entre a y b. Geométricamente, esto significa que la secante a la gráfica de f que une( a, f( a)) con( b, f( b)) ha de ser paralela a la tangente a la gráfica en algún punto intermedio( fig. 4.6).
f( b)
f( a) a c b
Figura 4.6: teorema del valor medio
4.4. Extremos locales
El teorema del valor medio tiene un gran número de corolarios muy importantes, que veremos a continuación. A partir de ahora, diremos que f es derivable en un intervalo J si es derivable en todos los puntos interiores a J y es derivable por la derecha en el extremo inferior de J y por la izquierda en el extremo superior, si J contiene alguno de sus extremos. En particular, si f es derivable en un intervalo entonces f es continua en dicho intervalo.
Proposición 4.20. Si f: R → R es continua en un intervalo J y derivable en el interior de J, y f ′( x) = 0 para todo x en el interior de J, entonces f es constante en J.