CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 81
El teorema del valor medio de Cauchy tiene multitud de corolarios importantes . Uno de ellos es la siguiente versión del teorema del valor medio , enunciado por primera vez por Lagrange en 1798 y llamado a veces teorema de los incrementos finitos :
Teorema del valor medio . Si f : R → R es continua en [ a , b ] y derivable en ( a , b ), entonces existe c ∈ ( a , b ) tal que
f ( b ) = f ( a ) + f ′ ( c )( b − a ).
Demostración . Basta aplicar el teorema del valor medio de Cauchy a f y g = I , ya que g ′ ( x ) = 1 no se anula en ningún punto . Q . E . D .
El teorema anterior recibe el nombre de teorema de los incrementos finitos porque afirma que el cociente incremental f ( b ) −f ( a ) b−a es exactamente igual a la derivada de f en algún punto intermedio entre a y b . Geométricamente , esto significa que la secante a la gráfica de f que une ( a , f ( a )) con ( b , f ( b )) ha de ser paralela a la tangente a la gráfica en algún punto intermedio ( fig . 4.6 ).
f ( b )
f ( a ) a c b
Figura 4.6 : teorema del valor medio
4.4 . Extremos locales
El teorema del valor medio tiene un gran número de corolarios muy importantes , que veremos a continuación . A partir de ahora , diremos que f es derivable en un intervalo J si es derivable en todos los puntos interiores a J y es derivable por la derecha en el extremo inferior de J y por la izquierda en el extremo superior , si J contiene alguno de sus extremos . En particular , si f es derivable en un intervalo entonces f es continua en dicho intervalo .
Proposición 4.20 . Si f : R → R es continua en un intervalo J y derivable en el interior de J , y f ′ ( x ) = 0 para todo x en el interior de J , entonces f es constante en J .