CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 80
extremos del intervalo ó bien x i ∈ ( a , b ) y f ′ ( x i ) = 0 ( i = 1,2 ). Por tanto , si x i ∈ ( a , b ) para algún i = 1,2 podemos tomar c = x i . Si tanto x 1 como x 2 coinciden ambos con alguno de los extremos del intervalo [ a , b ], entonces f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ( al ser f ( a ) = f ( b ) por hipótesis ), y por tanto f es constante en [ a , b ]. Pero en tal caso f ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ ( a , b ), y por tanto podemos tomar c igual a cualquier punto de ( a , b ). Q . E . D .
Nota . La continuidad de f en ( a , b ) es consecuencia de su derivabilidad en dicho intervalo abierto . Por tanto , para aplicar el teorema de Rolle basta comprobar que f es derivable en ( a , b ), es continua por la derecha en a y por la izquierda en b , y cumple la condición f ( a ) = f ( b ). La continuidad de f por la derecha en a ó por la izquierda en b se demuestra a menudo probando que f es derivable por la derecha en a ó por la izquierda en b , aunque por supuesto estas dos condiciones no son necesarias para poder aplicar el teorema de Rolle .
4.3.3 . Teorema del valor medio
El teorema de Rolle implica el siguiente teorema del valor medio , demostrado rigurosamente por primera vez por Augustin-Louis Cauchy en 1821 :
Teorema del valor medio de Cauchy . Sean f , g : R → R dos funciones continuas en [ a , b ] y diferenciables en ( a , b ). Si g ′ no se anula en ningún punto de ( a , b ), entonces existe c ∈ ( a , b ) tal que
f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) . ( 4 . 11 )
Demostración . En primer lugar , nótese que g ( b ) − g ( a ) ≠ 0 , ya que en caso contrario el teorema de Rolle implicaría que g ′ se anula en algún punto de ( a , b ). Para probar el teorema , intentamos aplicar el teorema de Rolle a una combinación lineal apropiada h = f + λg de f y g . Cualquiera que sea la constante λ ∈ R , la función h es claramente continua en [ a , b ] y derivable en ( a , b ). Basta entonces escoger λ de forma que
h ( a ) = f ( a ) + λg ( a ) = h ( b ) = f ( b ) + λg ( b ). Como g ( a ) − g ( b ) ≠ 0 , la ecuación anterior se cumple para
λ = − f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) .
Aplicando el teorema de Rolle a h obtenemos entonces que existe c ∈ ( a , b ) tal que
0 = h ′ ( c ) = f ′ ( c ) + λg ′ ( c ) = f ′ ( c ) − f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) · g ′ ( c ).
Como g ′ ( c ) ≠ 0 por hipótesis , esta última igualdad es equivalente a ( 4.11 ). Q . E . D .