CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 80
extremos del intervalo ó bien x i ∈( a, b) y f ′( x i) = 0( i = 1,2). Por tanto, si x i ∈( a, b) para algún i = 1,2 podemos tomar c = x i. Si tanto x 1 como x 2 coinciden ambos con alguno de los extremos del intervalo [ a, b ], entonces f( x 1) = f( x 2)( al ser f( a) = f( b) por hipótesis), y por tanto f es constante en [ a, b ]. Pero en tal caso f ′( x) = 0 para todo x ∈( a, b), y por tanto podemos tomar c igual a cualquier punto de( a, b). Q. E. D.
Nota. La continuidad de f en( a, b) es consecuencia de su derivabilidad en dicho intervalo abierto. Por tanto, para aplicar el teorema de Rolle basta comprobar que f es derivable en( a, b), es continua por la derecha en a y por la izquierda en b, y cumple la condición f( a) = f( b). La continuidad de f por la derecha en a ó por la izquierda en b se demuestra a menudo probando que f es derivable por la derecha en a ó por la izquierda en b, aunque por supuesto estas dos condiciones no son necesarias para poder aplicar el teorema de Rolle.
4.3.3. Teorema del valor medio
El teorema de Rolle implica el siguiente teorema del valor medio, demostrado rigurosamente por primera vez por Augustin-Louis Cauchy en 1821:
Teorema del valor medio de Cauchy. Sean f, g: R → R dos funciones continuas en [ a, b ] y diferenciables en( a, b). Si g ′ no se anula en ningún punto de( a, b), entonces existe c ∈( a, b) tal que
f( b) − f( a) g( b) − g( a) = f ′( c) g ′( c).( 4. 11)
Demostración. En primer lugar, nótese que g( b) − g( a) ≠ 0, ya que en caso contrario el teorema de Rolle implicaría que g ′ se anula en algún punto de( a, b). Para probar el teorema, intentamos aplicar el teorema de Rolle a una combinación lineal apropiada h = f + λg de f y g. Cualquiera que sea la constante λ ∈ R, la función h es claramente continua en [ a, b ] y derivable en( a, b). Basta entonces escoger λ de forma que
h( a) = f( a) + λg( a) = h( b) = f( b) + λg( b). Como g( a) − g( b) ≠ 0, la ecuación anterior se cumple para
λ = − f( b) − f( a) g( b) − g( a).
Aplicando el teorema de Rolle a h obtenemos entonces que existe c ∈( a, b) tal que
0 = h ′( c) = f ′( c) + λg ′( c) = f ′( c) − f( b) − f( a) g( b) − g( a) · g ′( c).
Como g ′( c) ≠ 0 por hipótesis, esta última igualdad es equivalente a( 4.11). Q. E. D.