CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 79
Por tanto , f tiene un mínimo en [ 0,2 ] en el punto 1 y un máximo en el punto 2 . Puede probarse ( veremos más adelante un método muy sencillo para hacerlo ) que 0 es un máximo local de f en [ 0,2 ] ( véase la fig . 4.4 ).
8
6
4
2
0.5 1 1.5 2
Figura 4.4 : extremos de f ( x ) = x 4 − 2x 2 en el intervalo [ 0,2 ]
4.3.2 . Teorema de Rolle
Una consecuencia inmediata de la Proposición 4.14 es el siguiente teorema , cuya validez es intuitivamente muy clara ( véase la fig . 4.5 ):
f ( x )
f ( a )= f ( b ) a c b x
Figura 4.5 : teorema de Rolle
Teorema de Rolle . Sea f : R → R continua en [ a , b ] y derivable en ( a , b ). Si f ( a ) = f ( b ), entonces existe c ∈ ( a , b ) tal que f ′ ( c ) = 0 .
Demostración . Al ser f continua en [ a , b ], f ha de tener un mínimo x 1 y un máximo x 2 en [ a , b ] ( por supuesto , esto no excluye que f pueda alcanzar un máximo ó un mínimo en varios puntos de [ a , b ]). Como f es derivable en ( a , b ), la Proposición 4.18 implica que ó bien x i coincide con uno de los