CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 79
Por tanto, f tiene un mínimo en [ 0,2 ] en el punto 1 y un máximo en el punto 2. Puede probarse( veremos más adelante un método muy sencillo para hacerlo) que 0 es un máximo local de f en [ 0,2 ]( véase la fig. 4.4).
8
6
4
2
0.5 1 1.5 2
Figura 4.4: extremos de f( x) = x 4 − 2x 2 en el intervalo [ 0,2 ]
4.3.2. Teorema de Rolle
Una consecuencia inmediata de la Proposición 4.14 es el siguiente teorema, cuya validez es intuitivamente muy clara( véase la fig. 4.5):
f( x)
f( a)= f( b) a c b x
Figura 4.5: teorema de Rolle
Teorema de Rolle. Sea f: R → R continua en [ a, b ] y derivable en( a, b). Si f( a) = f( b), entonces existe c ∈( a, b) tal que f ′( c) = 0.
Demostración. Al ser f continua en [ a, b ], f ha de tener un mínimo x 1 y un máximo x 2 en [ a, b ]( por supuesto, esto no excluye que f pueda alcanzar un máximo ó un mínimo en varios puntos de [ a, b ]). Como f es derivable en( a, b), la Proposición 4.18 implica que ó bien x i coincide con uno de los