CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 78
Teorema 4.16. Sea f: R → R una función derivable en a ∈ R. Si a es un extremo local de f, entonces f ′( a) = 0.
Demostración. La demostración es una consecuencia inmediata de la proposición anterior. Por ejemplo, si f ′( a) > 0 entonces existe h > 0 tal que
x, y ∈( a − h, a + h), x < a < y = ⇒ f( x) < f( a) < f( y),
lo cual es incompatible con que a sea un máximo ó un mínimo de f en ningún intervalo de la forma( a − δ, a + δ). Q. E. D.
El resultado anterior proporciona un método muy poderoso para identificar los puntos en que f puede tener un extremo local. Es muy importante notar, sin embargo, que la condición f ′( a) = 0 es necesaria pero no suficiente para que f tenga un extremo relativo en a. Por ejemplo, si f( x) = x 3 entonces f ′( 0) = 0, pero f no tiene un extremo local en el origen( f es una función monótona creciente).
Definición 4.17. Un punto crítico de una función f: R → R es un punto a ∈ R tal que f ′( a) = 0.
Proposición 4.18. Si a es un extremo de f: R → R en un intervalo [ c, d ]( con c < d), entonces ó bien a es uno de los extremos del intervalo, ó bien a ∈( c, d) y f no es derivable en a, ó bien a ∈( c, d) es un punto crítico de f.
Demostración. Si a es un extremo de f en [ c, d ] y a no es uno de los extremos de dicho intervalo, entonces a es también un extremo local de f. Por el teorema anterior, si f es derivable en a entonces f ′( a) = 0. Q. E. D.
Ejemplo 4.19. Hallemos los extremos de la función f: R → R dada por f( x) = x 4 − 2x 2 en el intervalo [ 0,2 ]. En primer lugar, nótese que, al ser f continua en el intervalo [ 0,2 ], f ha de alcanzar un máximo y un mínimo en dicho intervalo. Como f es derivable en todo R( es un polinomio), los extremos de f en [ 0, 2 ] pertenecen al conjunto formado por los extremos del intervalo y los puntos críticos de f en( 0,2). Estos últimos puntos se calculan muy fácilmente: f ′( x) = 4x 3 − 4x = 0 ⇐⇒ x = 0, ± 1.
Por tanto, los extremos de f en [ 0,2 ] están en el conjunto { 0,1,2 }. Para hallar los extremos de f en [ 0, 2 ]( cuya existencia está garantizada por ser f continua en este intervalo compacto), basta evaluar f en estos tres puntos, obteniéndose
f( 0) = 0, f( 1) = 1 − 2 = −1, f( 2) = 16 − 8 = 8.