CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 78
Teorema 4.16 . Sea f : R → R una función derivable en a ∈ R . Si a es un extremo local de f , entonces f ′ ( a ) = 0 .
Demostración . La demostración es una consecuencia inmediata de la proposición anterior . Por ejemplo , si f ′ ( a ) > 0 entonces existe h > 0 tal que
x , y ∈ ( a − h , a + h ), x < a < y = ⇒ f ( x ) < f ( a ) < f ( y ),
lo cual es incompatible con que a sea un máximo ó un mínimo de f en ningún intervalo de la forma ( a − δ , a + δ ). Q . E . D .
El resultado anterior proporciona un método muy poderoso para identificar los puntos en que f puede tener un extremo local . Es muy importante notar , sin embargo , que la condición f ′ ( a ) = 0 es necesaria pero no suficiente para que f tenga un extremo relativo en a . Por ejemplo , si f ( x ) = x 3 entonces f ′ ( 0 ) = 0 , pero f no tiene un extremo local en el origen ( f es una función monótona creciente ).
Definición 4.17 . Un punto crítico de una función f : R → R es un punto a ∈ R tal que f ′ ( a ) = 0 .
Proposición 4.18 . Si a es un extremo de f : R → R en un intervalo [ c , d ] ( con c < d ), entonces ó bien a es uno de los extremos del intervalo , ó bien a ∈ ( c , d ) y f no es derivable en a , ó bien a ∈ ( c , d ) es un punto crítico de f .
Demostración . Si a es un extremo de f en [ c , d ] y a no es uno de los extremos de dicho intervalo , entonces a es también un extremo local de f . Por el teorema anterior , si f es derivable en a entonces f ′ ( a ) = 0 . Q . E . D .
Ejemplo 4.19 . Hallemos los extremos de la función f : R → R dada por f ( x ) = x 4 − 2x 2 en el intervalo [ 0,2 ]. En primer lugar , nótese que , al ser f continua en el intervalo [ 0,2 ], f ha de alcanzar un máximo y un mínimo en dicho intervalo . Como f es derivable en todo R ( es un polinomio ), los extremos de f en [ 0, 2 ] pertenecen al conjunto formado por los extremos del intervalo y los puntos críticos de f en ( 0,2 ). Estos últimos puntos se calculan muy fácilmente : f ′ ( x ) = 4x 3 − 4x = 0 ⇐⇒ x = 0 , ± 1 .
Por tanto , los extremos de f en [ 0,2 ] están en el conjunto { 0,1,2 }. Para hallar los extremos de f en [ 0, 2 ] ( cuya existencia está garantizada por ser f continua en este intervalo compacto ), basta evaluar f en estos tres puntos , obteniéndose
f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 − 2 = −1 , f ( 2 ) = 16 − 8 = 8 .