CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 77
Demostración . En primer lugar , basta considerar el caso en que f es monótona no decreciente ó f ′ ( a ) > 0 , ya que los otros casos se deducen aplicando estos dos a la función −f . Supongamos , para empezar , que f es monótona no decreciente en un intervalo de la forma ( a−δ , a + δ ) con δ > 0 . Entonces el cociente incremental es claramente no negativo para todo h ∈ ( −δ , δ ) − { 0 }:
f ( a + h ) − f ( a ) h
≥ 0 , ∀h ∈ ( −δ , δ ), h ≠ 0 .
Por el principio de conservación del signo , esto implica que el límite del cociente incremental cuando h → 0 , es decir f ′ ( a ), no puede ser negativo .
Supongamos ahora que f ′ ( a ) > 0 . De nuevo por el principio de conservación del signo , existe un δ > 0 tal que
f ( a + h ) − f ( a ) h
> 0 , ∀h ∈ ( −δ , δ ), h ≠ 0 .
Esto implica nuestra afirmación , ya que si x = a − h 1 , y = a + h 2 con 0 < h i < δ ( i = 1,2 ) entonces
f ( a ) − f ( x ) = h 1 · f ( a − h 1 ) − f ( a )
−h 1
> 0 , f ( y ) − f ( a ) = h 2 · f ( a + h 2 ) − f ( a ) h 2
> 0 .
Q . E . D .
El resultado anterior se puede utilizar para hallar los extremos locales de una función derivable .
Definición 4.15 . Sea f : R → R una función , y sea A ⊂ R . Un punto a ∈ A es un máximo de f en A si
f ( x ) ≤ f ( a ), ∀x ∈ dom f ∩ A .
Análogamente , a ∈ A es un mínimo de f en A si es un máximo de −f en A , es decir si f ( x ) ≥ f ( a ), ∀x ∈ dom f ∩ A .
Se dice que a ∈ A es un extremo de f en A si a es un máximo ó un mínimo de f en A . Por último , a ∈ R es un extremo ( máximo , mínimo ) local de f en A si existe δ > 0 tal que a es un extremo ( máximo , mínimo ) de f en A ∩ ( a − δ , a + δ ).
Nota . Cuando se habla de alguno de los tipos anteriores de extremo sin mencionar el conjunto A , se sobreentiende que A = R . Así , por ejemplo , a es un extremo local de f si existe δ > 0 tal que a es un extremo de f en ( a − δ , a + δ ).