CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 77
Demostración. En primer lugar, basta considerar el caso en que f es monótona no decreciente ó f ′( a) > 0, ya que los otros casos se deducen aplicando estos dos a la función −f. Supongamos, para empezar, que f es monótona no decreciente en un intervalo de la forma( a−δ, a + δ) con δ > 0. Entonces el cociente incremental es claramente no negativo para todo h ∈( −δ, δ) − { 0 }:
f( a + h) − f( a) h
≥ 0, ∀h ∈( −δ, δ), h ≠ 0.
Por el principio de conservación del signo, esto implica que el límite del cociente incremental cuando h → 0, es decir f ′( a), no puede ser negativo.
Supongamos ahora que f ′( a) > 0. De nuevo por el principio de conservación del signo, existe un δ > 0 tal que
f( a + h) − f( a) h
> 0, ∀h ∈( −δ, δ), h ≠ 0.
Esto implica nuestra afirmación, ya que si x = a − h 1, y = a + h 2 con 0 < h i < δ( i = 1,2) entonces
f( a) − f( x) = h 1 · f( a − h 1) − f( a)
−h 1
> 0, f( y) − f( a) = h 2 · f( a + h 2) − f( a) h 2
> 0.
Q. E. D.
El resultado anterior se puede utilizar para hallar los extremos locales de una función derivable.
Definición 4.15. Sea f: R → R una función, y sea A ⊂ R. Un punto a ∈ A es un máximo de f en A si
f( x) ≤ f( a), ∀x ∈ dom f ∩ A.
Análogamente, a ∈ A es un mínimo de f en A si es un máximo de −f en A, es decir si f( x) ≥ f( a), ∀x ∈ dom f ∩ A.
Se dice que a ∈ A es un extremo de f en A si a es un máximo ó un mínimo de f en A. Por último, a ∈ R es un extremo( máximo, mínimo) local de f en A si existe δ > 0 tal que a es un extremo( máximo, mínimo) de f en A ∩( a − δ, a + δ).
Nota. Cuando se habla de alguno de los tipos anteriores de extremo sin mencionar el conjunto A, se sobreentiende que A = R. Así, por ejemplo, a es un extremo local de f si existe δ > 0 tal que a es un extremo de f en( a − δ, a + δ).