CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 76
Si x < 0 , aplicando la regla de la cadena y el resultado anterior ( ya que −x > 0 ) se obtiene
f ′ ( x ) = − ( −1 ) c c ( −x ) c−1 = ( −1 ) c + 1 c ( −x ) c−1 = ( −1 ) c−1 c ( −x ) c−1 = cx c−1 . ( 4.10 )
Si c > 1 es arbitrario , entonces f ′ ( 0 + 0 ) = 0 , ya que
f ′ h c ( 0 + 0 ) = lím h→0 + h = lím h→0 + hc−1 = 0 . Si c = p / q > 1 con p , q ∈ N y q impar entonces
f ′ h c ( 0 − 0 ) = lím h→0− h = lím ( −t ) c−1 = lím ( −1 ) c−1 t c−1 = 0 . t→0 + t→0 +
Por tanto , en este caso f es derivable en 0 y f ′ ( 0 ) = 0 .
Si c = 1 , f = I es derivable en todo R y f ′ = 1 , por lo que ( 4.10 ) se cumple para todo x ∈ R ( interpretando 0 0 como 1 si x = 0 ). Por último , si c < 1 entonces no existe ni siquiera f ′ ( 0 + 0 ), ya que en este caso
f ′ h c ( 0 + 0 ) = lím h→0 + h = lím h→0 + hc−1 = ∞ .
4.3 . Teoremas de Rolle y del valor medio
En esta sección demostraremos algunos teoremas fundamentales para profundizar en el significado del concepto de derivada .
4.3.1 . Crecimiento , decrecimiento y extremos locales
En primer lugar , probaremos un resultado que relaciona el crecimiento ó decrecimiento de una función derivable con el signo de su derivada :
Proposición 4.14 . Sea f : R → R derivable en a ∈ R . Si f es monótona no decreciente ( resp . no creciente ) en algún intervalo abierto centrado en a entonces f ′ ( a ) ≥ 0 ( resp . f ′ ( a ) ≤ 0 ). Recíprocamente , si f ′ ( a ) > 0 ( resp . f ′ ( a ) < 0 ) entonces existe δ > 0 tal que si x , y ∈ ( a − δ , a + δ ) entonces x < a < y = ⇒ f ( x ) < f ( a ) < f ( y ) ( resp . x < a < y = ⇒ f ( x ) > f ( a ) > f ( y )).
Nota . Obsérvese que esta última afirmación no implica que f sea monótona creciente ( resp . decreciente ) en ( a − δ , a + δ ); por ejemplo ( véase Spivak , problema 11.63 ), considérese la función definida por f ( 0 ) = 0 y f ( x ) =
1 2 x + x2 sen ( 1 / x ) para x ≠ 0 . Tampoco se puede afirmar que si f es monótona creciente ( resp . decreciente ) en un intervalo abierto centrado en a entonces
f ′ ( a ) > 0 ( resp . f ′ ( a ) < 0 ); en efecto , basta considerar la función dada por f ( x ) = x 3 en el origen .