CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 76
Si x < 0, aplicando la regla de la cadena y el resultado anterior( ya que −x > 0) se obtiene
f ′( x) = −( −1) c c( −x) c−1 =( −1) c + 1 c( −x) c−1 =( −1) c−1 c( −x) c−1 = cx c−1.( 4.10)
Si c > 1 es arbitrario, entonces f ′( 0 + 0) = 0, ya que
f ′ h c( 0 + 0) = lím h→0 + h = lím h→0 + hc−1 = 0. Si c = p / q > 1 con p, q ∈ N y q impar entonces
f ′ h c( 0 − 0) = lím h→0− h = lím( −t) c−1 = lím( −1) c−1 t c−1 = 0. t→0 + t→0 +
Por tanto, en este caso f es derivable en 0 y f ′( 0) = 0.
Si c = 1, f = I es derivable en todo R y f ′ = 1, por lo que( 4.10) se cumple para todo x ∈ R( interpretando 0 0 como 1 si x = 0). Por último, si c < 1 entonces no existe ni siquiera f ′( 0 + 0), ya que en este caso
f ′ h c( 0 + 0) = lím h→0 + h = lím h→0 + hc−1 = ∞.
4.3. Teoremas de Rolle y del valor medio
En esta sección demostraremos algunos teoremas fundamentales para profundizar en el significado del concepto de derivada.
4.3.1. Crecimiento, decrecimiento y extremos locales
En primer lugar, probaremos un resultado que relaciona el crecimiento ó decrecimiento de una función derivable con el signo de su derivada:
Proposición 4.14. Sea f: R → R derivable en a ∈ R. Si f es monótona no decreciente( resp. no creciente) en algún intervalo abierto centrado en a entonces f ′( a) ≥ 0( resp. f ′( a) ≤ 0). Recíprocamente, si f ′( a) > 0( resp. f ′( a) < 0) entonces existe δ > 0 tal que si x, y ∈( a − δ, a + δ) entonces x < a < y = ⇒ f( x) < f( a) < f( y)( resp. x < a < y = ⇒ f( x) > f( a) > f( y)).
Nota. Obsérvese que esta última afirmación no implica que f sea monótona creciente( resp. decreciente) en( a − δ, a + δ); por ejemplo( véase Spivak, problema 11.63), considérese la función definida por f( 0) = 0 y f( x) =
1 2 x + x2 sen( 1 / x) para x ≠ 0. Tampoco se puede afirmar que si f es monótona creciente( resp. decreciente) en un intervalo abierto centrado en a entonces
f ′( a) > 0( resp. f ′( a) < 0); en efecto, basta considerar la función dada por f( x) = x 3 en el origen.