CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 75
Ejercicio. Calcúlense las derivadas de las demás funciones trigonométricas inversas.
Solución.
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arccot ′ x = − 1
1 + x 2,
∀x ∈ R;
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arcsec ′
1 x =
| x | √ x 2 − 1,
∀ | x | > 1;
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arccsc ′
1 x = −
| x | √ x 2 − 1,
∀ | x | > 1.
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Nótese que de lo anterior se deduce que las funciones trigonométricas inversas son infinitamente diferenciables en todos los puntos interiores a sus dominios de definición.
Ejemplo 4.12. Calculemos la derivada de la función exponencial exp: R →( 0, ∞), definida por exp x = e x. Como exp =( log) −1 y log ′ y = 1 / y no se anula para ningún y > 0, aplicando de nuevo el Teorema 4.10 obtenemos:
exp ′ x =
1 = exp x, ∀x ∈ R.
( 1 / exp x)
De esto se deduce inmediatamente que exp es infinitamente derivable en todo R, y además exp( n) x = exp x, ∀x ∈ R. Si f( x) = a x( a > 0), como f( x) = e x log a la regla de la cadena proporciona f ′( x) = e x log a · log a = log a · a x, ∀x ∈ R.
De nuevo, f es infinitamente derivable en todo R, y f( n)( x) =( log a) n · a x, ∀x ∈ R.
Ejemplo 4.13. Consideremos ahora la función f( x) = x c, definida para x > 0. Al ser f( x) = e c log x, la regla de la cadena proporciona
f ′( x) = e c log x · c x = xc · c x = cxc−1, ∀x > 0.
Si c es un número racional para el cual x c está definido para x < 0 entonces la fórmula anterior es válida también si x < 0. En efecto, si c = p / q con p ∈ Z y q ∈ N impar, entonces
f( x) = x c =( −1) c( −x) c.