CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 75
Ejercicio . Calcúlense las derivadas de las demás funciones trigonométricas inversas .
Solución .
|
arccot ′ x = − 1
1 + x 2 ,
∀x ∈ R ;
|
|
|
arcsec ′
1 x =
| x | √ x 2 − 1 ,
∀ | x | > 1 ;
|
|
|
arccsc ′
1 x = −
| x | √ x 2 − 1 ,
∀ | x | > 1 .
|
|
Nótese que de lo anterior se deduce que las funciones trigonométricas inversas son infinitamente diferenciables en todos los puntos interiores a sus dominios de definición .
Ejemplo 4.12 . Calculemos la derivada de la función exponencial exp : R → ( 0 , ∞ ), definida por exp x = e x . Como exp = ( log ) −1 y log ′ y = 1 / y no se anula para ningún y > 0 , aplicando de nuevo el Teorema 4.10 obtenemos :
exp ′ x =
1 = exp x , ∀x ∈ R .
( 1 / exp x )
De esto se deduce inmediatamente que exp es infinitamente derivable en todo R , y además exp ( n ) x = exp x , ∀x ∈ R . Si f ( x ) = a x ( a > 0 ), como f ( x ) = e x log a la regla de la cadena proporciona f ′ ( x ) = e x log a · log a = log a · a x , ∀x ∈ R .
De nuevo , f es infinitamente derivable en todo R , y f ( n ) ( x ) = ( log a ) n · a x , ∀x ∈ R .
Ejemplo 4.13 . Consideremos ahora la función f ( x ) = x c , definida para x > 0 . Al ser f ( x ) = e c log x , la regla de la cadena proporciona
f ′ ( x ) = e c log x · c x = xc · c x = cxc−1 , ∀x > 0 .
Si c es un número racional para el cual x c está definido para x < 0 entonces la fórmula anterior es válida también si x < 0 . En efecto , si c = p / q con p ∈ Z y q ∈ N impar , entonces
f ( x ) = x c = ( −1 ) c ( −x ) c .