CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 74
Ejemplo 4.11. En este ejemplo estudiaremos la derivabilidad de las funciones trigonométricas inversas. Comencemos, en primer lugar, con arc sen: [ −1,1 ] → [ −π / 2, π / 2 ]. Como sen ′ y = cos y no se anula si y ∈( −π / 2, π / 2), concluimos que arcsen es derivable en( −1,1), y aplicando( 4.8) se obtiene
arcsen ′ x =
1 cos( arcsen x), −1 < x < 1.
Si arcsen x = y ∈( −π / 2, π / 2) entonces x = seny, y por tanto cos( arcsen x) = cos y = √ 1 − sen 2 y = √ 1 − x 2, ya que cos y > 0 si y ∈( −π / 2, π / 2). En definitiva,
arcsen ′ x =
1 √ 1 − x 2, −1 < x < 1.
Por otra parte, arcsen no es derivable( por la derecha ó por la izquierda) en ± 1, ya que sen ′ = cos se anula en ± π / 2. Geométricamente, la gráfica de arcsen tiene tangente vertical en los puntos ±( 1, π / 2).
Para calcular la derivada de arc cos, podemos utilizar un razonamiento similar, ó bien aplicar la identidad
arccos x = π 2
− arcsen x, −1 ≤ x ≤ 1. De cualquiera de estas dos formas se obtiene
arccos ′ 1 x = −√, −1 < x < 1. 1 − x 2
De nuevo, no existe arccos ′(± 1 ∓ 0), lo cuál se refleja geométricamente en que la tangente a la gráfica de arccos es vertical en los puntos( −1, π) y( 1,0).
Consideremos, a continuación, la derivada de arctan: R →( −π / 2, π / 2). Como tan ′ y = sec 2 y ≠ 0 para todo y ∈( −π / 2, π / 2), arctan es derivable en todo R. Utilizando la fórmula de la derivada de la función inversa se obtiene
arctan ′ x =
1 sec 2( arctan x).
Si arctan x = y ∈( −π / 2, π / 2) entonces x = tan y, y sec 2( arctan x) = sec 2 y = 1 + tan 2 y = 1 + x 2.
Por tanto, arctan ′ x = 1
1 + x 2, ∀x ∈ R.