CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 74
Ejemplo 4.11 . En este ejemplo estudiaremos la derivabilidad de las funciones trigonométricas inversas . Comencemos , en primer lugar , con arc sen : [ −1,1 ] → [ −π / 2 , π / 2 ]. Como sen ′ y = cos y no se anula si y ∈ ( −π / 2 , π / 2 ), concluimos que arcsen es derivable en ( −1,1 ), y aplicando ( 4.8 ) se obtiene
arcsen ′ x =
1 cos ( arcsen x ) , −1 < x < 1 .
Si arcsen x = y ∈ ( −π / 2 , π / 2 ) entonces x = seny , y por tanto cos ( arcsen x ) = cos y = √ 1 − sen 2 y = √ 1 − x 2 , ya que cos y > 0 si y ∈ ( −π / 2 , π / 2 ). En definitiva ,
arcsen ′ x =
1 √ 1 − x 2 , −1 < x < 1 .
Por otra parte , arcsen no es derivable ( por la derecha ó por la izquierda ) en ± 1 , ya que sen ′ = cos se anula en ± π / 2 . Geométricamente , la gráfica de arcsen tiene tangente vertical en los puntos ±( 1 , π / 2 ).
Para calcular la derivada de arc cos , podemos utilizar un razonamiento similar , ó bien aplicar la identidad
arccos x = π 2
− arcsen x , −1 ≤ x ≤ 1 . De cualquiera de estas dos formas se obtiene
arccos ′ 1 x = −√ , −1 < x < 1 . 1 − x 2
De nuevo , no existe arccos ′ (± 1 ∓ 0 ), lo cuál se refleja geométricamente en que la tangente a la gráfica de arccos es vertical en los puntos ( −1 , π ) y ( 1,0 ).
Consideremos , a continuación , la derivada de arctan : R → ( −π / 2 , π / 2 ). Como tan ′ y = sec 2 y ≠ 0 para todo y ∈ ( −π / 2 , π / 2 ), arctan es derivable en todo R . Utilizando la fórmula de la derivada de la función inversa se obtiene
arctan ′ x =
1 sec 2 ( arctan x ) .
Si arctan x = y ∈ ( −π / 2 , π / 2 ) entonces x = tan y , y sec 2 ( arctan x ) = sec 2 y = 1 + tan 2 y = 1 + x 2 .
Por tanto , arctan ′ x = 1
1 + x 2 , ∀x ∈ R .