CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 73
d = f( a + δ), y si es decreciente c = f( a + δ) y d = f( a − δ)). En particular, f −1 está definida en un intervalo abierto( b − ɛ, b + ɛ) ⊂ [ c, d ]( cf. fig. 4.3).
Por definición,
( f −1) ′ f −1( b + k) − f −1( b)( b) = lím
. k→0 k
Al ser f invertible en [ a−δ, a + δ ], para cada k ∈( −ɛ, ɛ) existe un h ∈( −δ, δ)( que, obviamente, dependerá de k) tal que
( véase la fig. 4.3). En términos de este h se tiene
b + k = f( a + h)( 4.9)
f −1( b + k) − f −1( b) k
=( a + h) − a f( a + h) − b = h f( a + h) − f( a). f( x) d
b + ε b + k b = f( a)
b – ε c
Figura 4.3: derivabilidad de la función inversa
Nótese que el denominador de esta última fracción no se anula si k ≠ 0, al ser f inyectiva. Por otra parte, despejando h en( 4.9) se obtiene
h = f −1( b + k) − a = f −1( b + k) − f −1( b).
Como f −1 es continua en b( al ser f continua), h tiende a cero cuando k tiende a cero. Teniendo en cuenta que, por hipótesis,
f( a + h) − f( a) lím
= f ′( a) ≠ 0 h→0 h
y aplicando el teorema sobre el cociente de dos límites se obtiene el resultado anunciado. Q. E. D.