CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 73
d = f ( a + δ ), y si es decreciente c = f ( a + δ ) y d = f ( a − δ )). En particular , f −1 está definida en un intervalo abierto ( b − ɛ , b + ɛ ) ⊂ [ c , d ] ( cf . fig . 4.3 ).
Por definición ,
( f −1 ) ′ f −1 ( b + k ) − f −1 ( b ) ( b ) = lím
. k→0 k
Al ser f invertible en [ a−δ , a + δ ], para cada k ∈ ( −ɛ , ɛ ) existe un h ∈ ( −δ , δ ) ( que , obviamente , dependerá de k ) tal que
( véase la fig . 4.3 ). En términos de este h se tiene
b + k = f ( a + h ) ( 4.9 )
f −1 ( b + k ) − f −1 ( b ) k
= ( a + h ) − a f ( a + h ) − b = h f ( a + h ) − f ( a ) . f ( x ) d
b + ε b + k b = f ( a )
b – ε c
Figura 4.3 : derivabilidad de la función inversa
Nótese que el denominador de esta última fracción no se anula si k ≠ 0 , al ser f inyectiva . Por otra parte , despejando h en ( 4.9 ) se obtiene
h = f −1 ( b + k ) − a = f −1 ( b + k ) − f −1 ( b ).
Como f −1 es continua en b ( al ser f continua ), h tiende a cero cuando k tiende a cero . Teniendo en cuenta que , por hipótesis ,
f ( a + h ) − f ( a ) lím
= f ′ ( a ) ≠ 0 h→0 h
y aplicando el teorema sobre el cociente de dos límites se obtiene el resultado anunciado . Q . E . D .