CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 72
Hemos visto en la sección anterior que log ′ x = 1 / x, para todo x > 0. De la parte iii) del Teorema 4.7 se sigue que log es infinitamente derivable en( 0, ∞). Por ejemplo,
Por inducción se demuestra que
De esto se deduce que log ′′ x = − 1 x 2, x > 0.
log( n)( x) =( −1) n−1( n − 1)! x −n, ∀x > 0.
log( a n)( −1)
n−1
( x) =( n − 1)! x −n, ∀x > 0, ∀a > 0. log a
4.2.3. Derivada de la función inversa
Sea f: R → R una función invertible y derivable en un punto a ∈ R. Como f −1 ◦f = I, si f −1 fuera derivable en f( a) aplicando la regla de la cadena se obtendría
o bien, llamando b = f( a):
( f −1) ′( f( a)) f ′( a) = 1,
( f −1) ′( b) =
1 f ′( f −1( b)).( 4. 8)
El problema con este argumento es que no hemos probado todavía que f −1 sea derivable en f( a) si f es derivable en a, cosa que haremos a continuación. Nótese, sin embargo, que el razonamiento anterior prueba rigurosamente que si f ′( a) = 0 entonces f −1 no es derivable en f( a). En otras palabras, una condición necesaria para que f −1 sea derivable en f( a) es que f ′( a) ≠ 0. El teorema siguiente demuestra esencialmente que dicha condición es también suficiente:
Teorema 4.10. Sea f: R → R una función continua e inyectiva en un intervalo abierto J centrado en a. Si f es derivable en a y f ′( a) ≠ 0, entonces f −1: f( J) → J es derivable en b = f( a), y se cumple( 4.8).
Demostración. En primer lugar, f ha de ser continua e inyectiva en un intervalo cerrado de la forma [ a − δ, a + δ ] ⊂ J con δ > 0. Por los teoremas vistos en la Sección 3.4, f es estrictamente monótona en [ a − δ, a + δ ] y f([ a − δ, a + δ ]) es un intervalo. Es fácil convencerse de que esto implica que f([ a − δ, a + δ ]) = [ c, d ], siendo c < b < d( si f es creciente c = f( a − δ) y