CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 72
Hemos visto en la sección anterior que log ′ x = 1 / x , para todo x > 0 . De la parte iii ) del Teorema 4.7 se sigue que log es infinitamente derivable en ( 0 , ∞ ). Por ejemplo ,
Por inducción se demuestra que
De esto se deduce que log ′′ x = − 1 x 2 , x > 0 .
log ( n ) ( x ) = ( −1 ) n−1 ( n − 1 )! x −n , ∀x > 0 .
log ( a n ) ( −1 )
n−1
( x ) = ( n − 1 )! x −n , ∀x > 0 , ∀a > 0 . log a
4.2.3 . Derivada de la función inversa
Sea f : R → R una función invertible y derivable en un punto a ∈ R . Como f −1 ◦f = I , si f −1 fuera derivable en f ( a ) aplicando la regla de la cadena se obtendría
o bien , llamando b = f ( a ):
( f −1 ) ′( f ( a ) ) f ′ ( a ) = 1 ,
( f −1 ) ′ ( b ) =
1 f ′( f −1 ( b ) ). ( 4 . 8 )
El problema con este argumento es que no hemos probado todavía que f −1 sea derivable en f ( a ) si f es derivable en a , cosa que haremos a continuación . Nótese , sin embargo , que el razonamiento anterior prueba rigurosamente que si f ′ ( a ) = 0 entonces f −1 no es derivable en f ( a ). En otras palabras , una condición necesaria para que f −1 sea derivable en f ( a ) es que f ′ ( a ) ≠ 0 . El teorema siguiente demuestra esencialmente que dicha condición es también suficiente :
Teorema 4.10 . Sea f : R → R una función continua e inyectiva en un intervalo abierto J centrado en a . Si f es derivable en a y f ′ ( a ) ≠ 0 , entonces f −1 : f ( J ) → J es derivable en b = f ( a ), y se cumple ( 4.8 ).
Demostración . En primer lugar , f ha de ser continua e inyectiva en un intervalo cerrado de la forma [ a − δ , a + δ ] ⊂ J con δ > 0 . Por los teoremas vistos en la Sección 3.4 , f es estrictamente monótona en [ a − δ , a + δ ] y f ([ a − δ , a + δ ]) es un intervalo . Es fácil convencerse de que esto implica que f ([ a − δ , a + δ ]) = [ c , d ], siendo c < b < d ( si f es creciente c = f ( a − δ ) y