CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 71
4.2.2. Derivadas de orden superior
Si f: R → R es diferenciable en todos los puntos de un intervalo( a − h, a + h)( h > 0) centrado en un punto a, la función f ′ está definida en( a − h, a + h). Si f ′ es diferenciable en a, a la derivada( f ′) ′( a) de f ′ en a se la denomina derivada segunda de f en a, y se la denota por f ′′( a). Si f ′′( a) existe, se dice que f es dos veces derivable en a. En general, f ′′: R → R es una función definida en todos los puntos en que f ′ sea derivable. Análogamente, la derivada n-ésima de f en a se define recursivamente por la fórmula f( n)( a) =( f( n−1)) ′( a), n ∈ N, donde se ha utilizado la notación
Nótese que f( 0) = f.
dom f( n) ⊂ dom f( n−1) ⊂ · · · ⊂ dom f ′ ⊂ dom f.
De las reglas para el cálculo de derivadas vistas en la Sección 4.2 se deducen reglas análogas para el cálculo de derivadas de orden superior. Así, por ejemplo, si f y g son funciones derivables n veces en a ∈ R y c ∈ R es una constante entonces se verifica:
i)( f + g)( n)( a) = f( n)( a) + g( n)( a) ii)( cf)( n)( a) = cf( n)( a) iii)( fg)( n)( a) = ∑ n k = 0
( n k
) f
( k)( a) g( n−k)( a)
Esta última fórmula, que generaliza la regla de Leibniz, se demuestra fácilmente por inducción sobre n.
Si f es un polinomio entonces f ′ es otro polinomio, y por tanto es una función derivable en todo R. De esto se sigue( por inducción) que f es derivable un número arbitrario de veces en todo R, siendo f( k) = 0 si k es mayor que el grado de f. Del mismo modo, si f es una función racional entonces f es derivable infinitas veces( es decir, existe f( n) para todo n ∈ N) en su dominio, siendo f( n) una función racional.
Las funciones trigonométricas sen y cos son también infinitamente derivables en todo R, ya que sen ′ = cos y cos ′ = − sen. De esto se sigue que las funciones sec, cosec, tan y cot, que son funciones racionales en sen y cos, son infinitamente derivables en todos los puntos de su dominio.