CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 71
4.2.2 . Derivadas de orden superior
Si f : R → R es diferenciable en todos los puntos de un intervalo ( a − h , a + h ) ( h > 0 ) centrado en un punto a , la función f ′ está definida en ( a − h , a + h ). Si f ′ es diferenciable en a , a la derivada ( f ′ ) ′ ( a ) de f ′ en a se la denomina derivada segunda de f en a , y se la denota por f ′′ ( a ). Si f ′′ ( a ) existe , se dice que f es dos veces derivable en a . En general , f ′′ : R → R es una función definida en todos los puntos en que f ′ sea derivable . Análogamente , la derivada n-ésima de f en a se define recursivamente por la fórmula f ( n ) ( a ) = ( f ( n−1 ) ) ′ ( a ), n ∈ N , donde se ha utilizado la notación
Nótese que f ( 0 ) = f .
dom f ( n ) ⊂ dom f ( n−1 ) ⊂ · · · ⊂ dom f ′ ⊂ dom f .
De las reglas para el cálculo de derivadas vistas en la Sección 4.2 se deducen reglas análogas para el cálculo de derivadas de orden superior . Así , por ejemplo , si f y g son funciones derivables n veces en a ∈ R y c ∈ R es una constante entonces se verifica :
i ) ( f + g ) ( n ) ( a ) = f ( n ) ( a ) + g ( n ) ( a ) ii ) ( cf ) ( n ) ( a ) = cf ( n ) ( a ) iii ) ( fg ) ( n ) ( a ) = ∑ n k = 0
( n k
) f
( k ) ( a ) g ( n−k ) ( a )
Esta última fórmula , que generaliza la regla de Leibniz , se demuestra fácilmente por inducción sobre n .
Si f es un polinomio entonces f ′ es otro polinomio , y por tanto es una función derivable en todo R . De esto se sigue ( por inducción ) que f es derivable un número arbitrario de veces en todo R , siendo f ( k ) = 0 si k es mayor que el grado de f . Del mismo modo , si f es una función racional entonces f es derivable infinitas veces ( es decir , existe f ( n ) para todo n ∈ N ) en su dominio , siendo f ( n ) una función racional .
Las funciones trigonométricas sen y cos son también infinitamente derivables en todo R , ya que sen ′ = cos y cos ′ = − sen . De esto se sigue que las funciones sec , cosec , tan y cot , que son funciones racionales en sen y cos , son infinitamente derivables en todos los puntos de su dominio .