CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 70
A partir de ahora, escribiremos log e = log.
( Otros autores utilizan la notación ln en lugar de log para el logaritmo en base e, al que denominan logaritmo neperiano.)
Calculemos, en primer lugar
log ′ log( 1 + h) 1 = lím = lím log
[( ] 1 + h) 1 / h h→0 h h→0
Como log es continua en su dominio, el límite anterior es igual a [ ] log lím( 1 + h) 1 / h = log e = 1. h→0
Por tanto, log ′ 1 = 1.
( La justificación formal del cálculo del límite anterior es la siguiente. Supongamos que f: R → R es una función continua en l, y que lím x→a g( x) = l, siendo im g ⊂ dom f. Si definimos g( a) = l( lo cual no cambia el valor de lím x→a g( x)), la función g es continua en a, y por tanto Teorema 3.17) f ◦g es continua en a. En consecuencia, lím x→a f( g( x)) = f( g( a)) = f( l). Este argumento se suele resumir escribiendo que si f es continua entonces
lím f( g( x)) = f x→a
() lím g( x). x→a
En el límite calculado anteriormente, f = log y g( h) =( 1 + h) 1 / h.) Para calcular log ′ x para cualquier x > 0, nótese que si f( h) = log( x + h)
log ′ x = f ′( 0).
Aplicando la regla de la cadena se obtiene( f( h) = log x + log 1 + h)
(
= ⇒ f ′( 0) = log ′ d 1 · 1 + h) x dh x ∣ = 1 · 1 h = 0 x.
Por tanto, hemos probado que log ′ x = 1 x, ∀x > 0.
Por último, al ser log a x = log x / log a se tiene
log ′ a x = 1 xlog a = log a e
, ∀x > 0, ∀a > 0. x
Ejercicio. Probar que si f( x) = log | x | entonces f ′( x) = 1 / x para todo x ≠ 0.