CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 70
A partir de ahora , escribiremos log e = log .
( Otros autores utilizan la notación ln en lugar de log para el logaritmo en base e , al que denominan logaritmo neperiano .)
Calculemos , en primer lugar
log ′ log ( 1 + h ) 1 = lím = lím log
[( ] 1 + h ) 1 / h h→0 h h→0
Como log es continua en su dominio , el límite anterior es igual a [ ] log lím ( 1 + h ) 1 / h = log e = 1 . h→0
Por tanto , log ′ 1 = 1 .
( La justificación formal del cálculo del límite anterior es la siguiente . Supongamos que f : R → R es una función continua en l , y que lím x→a g ( x ) = l , siendo im g ⊂ dom f . Si definimos g ( a ) = l ( lo cual no cambia el valor de lím x→a g ( x )), la función g es continua en a , y por tanto Teorema 3.17 ) f ◦g es continua en a . En consecuencia , lím x→a f ( g ( x ) ) = f ( g ( a ) ) = f ( l ). Este argumento se suele resumir escribiendo que si f es continua entonces
lím f ( g ( x ) ) = f x→a
( ) lím g ( x ) . x→a
En el límite calculado anteriormente , f = log y g ( h ) = ( 1 + h ) 1 / h . ) Para calcular log ′ x para cualquier x > 0 , nótese que si f ( h ) = log ( x + h )
log ′ x = f ′ ( 0 ).
Aplicando la regla de la cadena se obtiene ( f ( h ) = log x + log 1 + h )
(
= ⇒ f ′ ( 0 ) = log ′ d 1 · 1 + h ) x dh x ∣ = 1 · 1 h = 0 x .
Por tanto , hemos probado que log ′ x = 1 x , ∀x > 0 .
Por último , al ser log a x = log x / log a se tiene
log ′ a x = 1 xlog a = log a e
, ∀x > 0 , ∀a > 0 . x
Ejercicio . Probar que si f ( x ) = log | x | entonces f ′ ( x ) = 1 / x para todo x ≠ 0 .