CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 69
Como cos x = sen( π
2 − x), aplicando la regla de la cadena obtenemos( π
) cos ′ x = cos
2 − x( −1) = − sen x, ∀x ∈ R.
Las derivadas de las demás funciones trigonométricas se calculan aplicando el Teorema 4.7. Por ejemplo,
tan ′ x = cos x · cos x − sen x ·( − sen x) cos 2 x
= sec 2 x.
Ejemplo 4.9. Discutiremos en este ejemplo la derivada de la función logaritmo. Para ello, vamos a admitir sin demostración que existe el límite siguiente:
( lím 1 + 1) n
= e, n→∞ n n∈N
donde e = 2,718281828459....( La demostración de esta afirmación se dará en el capítulo sobre sucesiones y series.) De esto se deduce que( lím 1 + 1) x
= e.( 4.6) x→∞ x
En efecto, si n = [ x ] ≥ 1 se tiene( 1 + 1) n(
≤ 1 + 1) x( ≤ 1 + 1) n + 1
. n + 1 x n
Tanto el miembro izquierdo como el derecho de estas desigualdades tiende a e cuando n → ∞, ya que
()( 1 + 1) n + 1
n 1 + 1 n + 1
= n + 1 1 + 1, n + 1
lím x→−∞
( 1 + 1) n + 1(
= 1 + 1) n( 1 + 1)
. n n n
De esto se sigue fácilmente nuestra afirmación. También se cumple que( 1 + 1) x
= e,( 4.7) x ya que si t = −x > 0 entonces( 1 − 1) −t() t t(
= = 1 + 1) t−1( 1 + 1)
. t t − 1 t − 1 t − 1
En particular, de( 4.6) y( 4.7) se sigue que lím( 1 + h) 1 / h = e. h→0