CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 69
Como cos x = sen ( π
2 − x ) , aplicando la regla de la cadena obtenemos ( π
) cos ′ x = cos
2 − x ( −1 ) = − sen x , ∀x ∈ R .
Las derivadas de las demás funciones trigonométricas se calculan aplicando el Teorema 4.7 . Por ejemplo ,
tan ′ x = cos x · cos x − sen x · ( − sen x ) cos 2 x
= sec 2 x .
Ejemplo 4.9 . Discutiremos en este ejemplo la derivada de la función logaritmo . Para ello , vamos a admitir sin demostración que existe el límite siguiente :
( lím 1 + 1 ) n
= e , n→∞ n n∈N
donde e = 2,718281828459 ... . ( La demostración de esta afirmación se dará en el capítulo sobre sucesiones y series .) De esto se deduce que ( lím 1 + 1 ) x
= e . ( 4.6 ) x→∞ x
En efecto , si n = [ x ] ≥ 1 se tiene ( 1 + 1 ) n (
≤ 1 + 1 ) x ( ≤ 1 + 1 ) n + 1
. n + 1 x n
Tanto el miembro izquierdo como el derecho de estas desigualdades tiende a e cuando n → ∞ , ya que
( ) ( 1 + 1 ) n + 1
n 1 + 1 n + 1
= n + 1 1 + 1 , n + 1
lím x→−∞
( 1 + 1 ) n + 1 (
= 1 + 1 ) n ( 1 + 1 )
. n n n
De esto se sigue fácilmente nuestra afirmación . También se cumple que ( 1 + 1 ) x
= e , ( 4.7 ) x ya que si t = −x > 0 entonces ( 1 − 1 ) −t ( ) t t (
= = 1 + 1 ) t−1 ( 1 + 1 )
. t t − 1 t − 1 t − 1
En particular , de ( 4.6 ) y ( 4.7 ) se sigue que lím ( 1 + h ) 1 / h = e . h→0