CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 68
se cumple
Como
se tiene f( g( a + h)) = f( g( a) + k) = f( g( a)) + k [ f ′( g( a)) + η( k)] = f( g( a)) + h [ g ′( a) + ɛ( h) ] [ f ′( g( a)) + η( k) ].
lím k = lím h [ g ′( a) + ɛ( h) ] = 0 y lím η( k) = 0 h→0 h→0 k→0
f( g( a + h)) − f( g( a)) h
= [ g ′( a) + ɛ( h) ] [ f ′( g( a)) + η( k) ] −−−→ h→0 g ′( a) f ′( g( a)).
Q. E. D.
Nota. En notación de Leibniz, si y = g( x) y z = f( y) entonces z( x) = f( g( x)) y dz dx = dz dy dy dx. Nótese, sin embargo, que con esta notación no queda del todo claro que dz dy está evaluada en y = g( x), y que el miembro izquierdo denota la derivada
de z expresada como función de x a través de y en el punto x.
Ejemplo 4.8. En este ejemplo calcularemos la derivada de las funciones trigonométricas. Veamos, en primer lugar, que sen ′ 0 = 1 y cos ′ 0 = 0. En efecto,
sen ′ sen h 0 = lím = 1, h→0 h
cos ′ cos h − 1 0 = lím = lím − 2 h h→0 h h→0 h sen2 2 = lím −h h→0 2
() sen( h / 2) 2 = 0. h / 2
Para calcular la derivada de sen en un punto cualquiera x ∈ R, si f( h) = sen( x + h) entonces f ′( 0) = sen ′ x · 1 = sen ′ x por la regla de la cadena. Por otra parte, f( h) = sen xcos h + cos xsen h, de donde se sigue que f ′( 0) = sen xcos ′ 0 + cos xsen ′ 0 = sen x · 0 + cos x · 1 = cos x.
Por tanto, hemos demostrado que sen ′ = cos.