CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 68
se cumple
Como
se tiene f ( g ( a + h ) ) = f ( g ( a ) + k ) = f ( g ( a ) ) + k [ f ′( g ( a ) ) + η ( k )] = f ( g ( a ) ) + h [ g ′ ( a ) + ɛ ( h ) ] [ f ′( g ( a ) ) + η ( k ) ] .
lím k = lím h [ g ′ ( a ) + ɛ ( h ) ] = 0 y lím η ( k ) = 0 h→0 h→0 k→0
f ( g ( a + h ) ) − f ( g ( a ) ) h
= [ g ′ ( a ) + ɛ ( h ) ] [ f ′( g ( a ) ) + η ( k ) ] −−−→ h→0 g ′ ( a ) f ′( g ( a ) ) .
Q . E . D .
Nota . En notación de Leibniz , si y = g ( x ) y z = f ( y ) entonces z ( x ) = f ( g ( x ) ) y dz dx = dz dy dy dx . Nótese , sin embargo , que con esta notación no queda del todo claro que dz dy está evaluada en y = g ( x ), y que el miembro izquierdo denota la derivada
de z expresada como función de x a través de y en el punto x .
Ejemplo 4.8 . En este ejemplo calcularemos la derivada de las funciones trigonométricas . Veamos , en primer lugar , que sen ′ 0 = 1 y cos ′ 0 = 0 . En efecto ,
sen ′ sen h 0 = lím = 1 , h→0 h
cos ′ cos h − 1 0 = lím = lím − 2 h h→0 h h→0 h sen2 2 = lím −h h→0 2
( ) sen ( h / 2 ) 2 = 0 . h / 2
Para calcular la derivada de sen en un punto cualquiera x ∈ R , si f ( h ) = sen ( x + h ) entonces f ′ ( 0 ) = sen ′ x · 1 = sen ′ x por la regla de la cadena . Por otra parte , f ( h ) = sen xcos h + cos xsen h , de donde se sigue que f ′ ( 0 ) = sen xcos ′ 0 + cos xsen ′ 0 = sen x · 0 + cos x · 1 = cos x .
Por tanto , hemos demostrado que sen ′ = cos .