CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 67
De lo anterior se sigue que
f( x) = n∑ a i x i = ⇒ f ′( x) = i = 0 n∑ ia i x i−1.
Así, para todo n natural la derivada de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n − 1. Aplicando la parte iii) del Teorema 4.7 se deduce que la derivada de una función racional es otra función racional, con el mismo dominio que la función de partida.
La fórmula( 4.5), junto con la regla de derivación de un cociente de funciones derivables, implica que si n = −m < 0 con m ∈ N se verifica
( x n) ′ =( 1 / x m) ′ = −( 1 / x 2m)· mx m−1 = −mx −m−1 = nx n−1, ∀x ≠ 0.
Por tanto,( 4.5) es válida para todo n ∈ Z( nótese que para n = 0 se cumple trivialmente).
4.2.1. Regla de la cadena
Otro de los resultados fundamentales que permite calcular la derivada de funciones complicadas a partir de las derivadas de funciones más sencillas es la siguiente fórmula para derivar la composición de dos funciones, conocida como regla de la cadena:
Regla de la cadena. Si g: R → R es derivable en a y f: R → R es derivable en g( a), entonces f ◦g es derivable en a, y se verifica
i = 1
( f ◦g) ′( a) = f ′( g( a)) g ′( a).
Demostración. Por ser g derivable en a, existirá una función ɛ: R → R definida en un intervalo( −δ 1, δ 1) tal que lím h→0 ɛ( h) = 0, y
g( a + h) = g( a) + h [ g ′( a) + ɛ( h)], ∀h ∈( −δ 1, δ 1).
Como esta fórmula es válida cualquiera que sea el valor de ɛ( 0), podemos definir ɛ( 0) = 0. Del mismo modo, por ser f derivable en g( a) se tiene
f( g( a) + k) = f( g( a)) + k [ f ′( g( a)) + η( k)], ∀k ∈( −δ 2, δ 2),
donde η( k) está definida para k ∈( −δ 2, δ 2), y lím k→0 η( k) = 0. Como g es continua en a( al ser diferenciable en dicho punto), existe δ ≤ δ 1 tal que
h ∈( − δ, δ) ⊂( −δ 1, δ 1) = ⇒ g( a + h) − g( a) ∈( −δ 2, δ 2).
En particular, de lo anterior se deduce que f ◦g está definida en( a−δ, a + δ). Además, si h ∈( − δ, δ) y
k = g( a + h) − g( a) = h [ g ′( a) + ɛ( h) ]