CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 67
De lo anterior se sigue que
f ( x ) = n∑ a i x i = ⇒ f ′ ( x ) = i = 0 n∑ ia i x i−1 .
Así , para todo n natural la derivada de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n − 1 . Aplicando la parte iii ) del Teorema 4.7 se deduce que la derivada de una función racional es otra función racional , con el mismo dominio que la función de partida .
La fórmula ( 4.5 ), junto con la regla de derivación de un cociente de funciones derivables , implica que si n = −m < 0 con m ∈ N se verifica
( x n ) ′ = ( 1 / x m ) ′ = − ( 1 / x 2m )· mx m−1 = −mx −m−1 = nx n−1 , ∀x ≠ 0 .
Por tanto , ( 4.5 ) es válida para todo n ∈ Z ( nótese que para n = 0 se cumple trivialmente ).
4.2.1 . Regla de la cadena
Otro de los resultados fundamentales que permite calcular la derivada de funciones complicadas a partir de las derivadas de funciones más sencillas es la siguiente fórmula para derivar la composición de dos funciones , conocida como regla de la cadena :
Regla de la cadena . Si g : R → R es derivable en a y f : R → R es derivable en g ( a ), entonces f ◦g es derivable en a , y se verifica
i = 1
( f ◦g ) ′ ( a ) = f ′( g ( a ) ) g ′ ( a ).
Demostración . Por ser g derivable en a , existirá una función ɛ : R → R definida en un intervalo ( −δ 1 , δ 1 ) tal que lím h→0 ɛ ( h ) = 0 , y
g ( a + h ) = g ( a ) + h [ g ′ ( a ) + ɛ ( h )], ∀h ∈ ( −δ 1 , δ 1 ).
Como esta fórmula es válida cualquiera que sea el valor de ɛ ( 0 ), podemos definir ɛ ( 0 ) = 0 . Del mismo modo , por ser f derivable en g ( a ) se tiene
f ( g ( a ) + k ) = f ( g ( a ) ) + k [ f ′( g ( a ) ) + η ( k )], ∀k ∈ ( −δ 2 , δ 2 ),
donde η ( k ) está definida para k ∈ ( −δ 2 , δ 2 ), y lím k→0 η ( k ) = 0 . Como g es continua en a ( al ser diferenciable en dicho punto ), existe δ ≤ δ 1 tal que
h ∈ ( − δ , δ ) ⊂ ( −δ 1 , δ 1 ) = ⇒ g ( a + h ) − g ( a ) ∈ ( −δ 2 , δ 2 ).
En particular , de lo anterior se deduce que f ◦g está definida en ( a−δ , a + δ ). Además , si h ∈ ( − δ , δ ) y
k = g ( a + h ) − g ( a ) = h [ g ′ ( a ) + ɛ ( h ) ]