CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 66
iii)
Es suficiente probar que() 1 ′
( a) = − g ′( a) [ ] g 2
,( 4.4) g( a)
ya que si esto se cumple la parte ii) implica()() f
′
( a) = f ′ 1( a) · g g( a) + f( a) − g ′( a)
[ ] 2
= g( a) f ′( a) − f( a) g ′( a) [ ] 2
. g( a) g( a)
Para probar( 4.4), nótese que( 1 / g)( a + h) −( 1 / g)( a)
= 1(
1 h h g( a + h) − 1) g( a)
1 = − g( a) g( a + h) · g( a + h) − g( a) h
−−−→ − g ′( a) [ ] h→0 2
, g( a) al ser g continua en a y g( a) ≠ 0. Q. E. D.
Si c es una constante y f: R → R es una función derivable en a ∈ R, de la parte ii) se sigue que cf es derivable en a, y se cumple
( cf) ′( a) = cf ′( a).
Las partes i) y ii) del Teorema 4.7 admiten una generalización obvia:
( f 1 + · · · + f n) ′( a) = f ′ 1( a) + · · · + f ′ n( a),( f 1... f n) ′( a) = f ′ 1( a) f 2( a)... f n( a) + · · · + f 1( a)... f n−1( a) f ′ n( a).
Como las funciones constantes y la función identidad son derivables en todos los puntos( con derivadas 0 y 1, respectivamente), del teorema anterior se sigue que los polinomios son derivables en todo R, y las funciones racionales son derivables en todos los puntos de su dominio. Para calcular la derivada de un polinomio cualquiera( y, por tanto, de una función racional arbitraria) necesitamos sólo saber calcular la derivada de la función f( x) = x n para n ∈ N. Es fácil probar por inducción( aplicando la parte ii) del Teorema 4.7) que
( x n) ′ = nx n−1, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N( 4.5)
( nótese el ligero abuso de notación). En notación de Leibniz, la fórmula anterior se escribiría como sigue:
d dx xn = nx n−1.