CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 66
iii )
Es suficiente probar que ( ) 1 ′
( a ) = − g ′ ( a ) [ ] g 2
, ( 4.4 ) g ( a )
ya que si esto se cumple la parte ii ) implica ( ) ( ) f
′
( a ) = f ′ 1 ( a ) · g g ( a ) + f ( a ) − g ′ ( a )
[ ] 2
= g ( a ) f ′ ( a ) − f ( a ) g ′ ( a ) [ ] 2
. g ( a ) g ( a )
Para probar ( 4.4 ), nótese que ( 1 / g )( a + h ) − ( 1 / g )( a )
= 1 (
1 h h g ( a + h ) − 1 ) g ( a )
1 = − g ( a ) g ( a + h ) · g ( a + h ) − g ( a ) h
−−−→ − g ′ ( a ) [ ] h→0 2
, g ( a ) al ser g continua en a y g ( a ) ≠ 0 . Q . E . D .
Si c es una constante y f : R → R es una función derivable en a ∈ R , de la parte ii ) se sigue que cf es derivable en a , y se cumple
( cf ) ′ ( a ) = cf ′ ( a ).
Las partes i ) y ii ) del Teorema 4.7 admiten una generalización obvia :
( f 1 + · · · + f n ) ′ ( a ) = f ′ 1 ( a ) + · · · + f ′ n ( a ), ( f 1 ... f n ) ′ ( a ) = f ′ 1 ( a ) f 2 ( a )... f n ( a ) + · · · + f 1 ( a )... f n−1 ( a ) f ′ n ( a ).
Como las funciones constantes y la función identidad son derivables en todos los puntos ( con derivadas 0 y 1 , respectivamente ), del teorema anterior se sigue que los polinomios son derivables en todo R , y las funciones racionales son derivables en todos los puntos de su dominio . Para calcular la derivada de un polinomio cualquiera ( y , por tanto , de una función racional arbitraria ) necesitamos sólo saber calcular la derivada de la función f ( x ) = x n para n ∈ N . Es fácil probar por inducción ( aplicando la parte ii ) del Teorema 4.7 ) que
( x n ) ′ = nx n−1 , ∀x ∈ R , ∀n ∈ N ( 4.5 )
( nótese el ligero abuso de notación ). En notación de Leibniz , la fórmula anterior se escribiría como sigue :
d dx xn = nx n−1 .