CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 65
4.2. Cálculo de derivadas
Las reglas fundamentales para el cálculo de derivadas se resumen en el siguiente teorema:
Teorema 4.7. Si f, g: R → R son derivables en a ∈ R entonces f + g y fg son derivables en a, y se verifica
i)( f + g) ′( a) = f ′( a) + g ′( a) ii)( fg) ′( a) = f ′( a) g( a) + f( a) g ′( a)( regla de Leibniz) Si, además, g( a) ≠ 0 entonces f / g es derivable en a, y se cumple
iii)
() f ′( a) = g( a) f ′( a) − f( a) g ′( a)
[ ] g 2
. g( a)
Demostración. En primer lugar, nótese que al ser f y g derivables en a ambas están definidas en sendos intervalos abiertos centrados en a, y por tanto lo mismo ocurrirá para f + g y fg. Del mismo modo, si g( a) ≠ 0 entonces la continuidad de g en a implica además que g es distinta de cero en un intervalo abierto centrado en a( teorema de conservación del signo); por tanto, f / g también estará definida en un intervalo abierto centrado en a. i)
ii)
( f + g) ′( f + g)( a + h) −( f + g)( a)( a) = lím h→0 h f( a + h) + g( a + h) − f( a) − g( a)
= lím h→0 h f( a + h) − f( a) g( a + h) − g( a)
= lím
+ lím h→0 h h→0 h
= f ′( a) + g ′( a).
( fg) ′( fg)( a + h) −( fg)( a)( a) = lím h→0 h f( a + h) g( a + h) − f( a) g( a)
= lím h→0 h
al ser g continua en a.
= lím g( a + h) f( a + h) − f( a) h→0 h = g( a) · f ′( a) + f( a) · g ′( a),
+ f( a) lím h→0 g( a + h) − g( a) h