CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 65
4.2 . Cálculo de derivadas
Las reglas fundamentales para el cálculo de derivadas se resumen en el siguiente teorema :
Teorema 4.7 . Si f , g : R → R son derivables en a ∈ R entonces f + g y fg son derivables en a , y se verifica
i ) ( f + g ) ′ ( a ) = f ′ ( a ) + g ′ ( a ) ii ) ( fg ) ′ ( a ) = f ′ ( a ) g ( a ) + f ( a ) g ′ ( a ) ( regla de Leibniz ) Si , además , g ( a ) ≠ 0 entonces f / g es derivable en a , y se cumple
iii )
( ) f ′ ( a ) = g ( a ) f ′ ( a ) − f ( a ) g ′ ( a )
[ ] g 2
. g ( a )
Demostración . En primer lugar , nótese que al ser f y g derivables en a ambas están definidas en sendos intervalos abiertos centrados en a , y por tanto lo mismo ocurrirá para f + g y fg . Del mismo modo , si g ( a ) ≠ 0 entonces la continuidad de g en a implica además que g es distinta de cero en un intervalo abierto centrado en a ( teorema de conservación del signo ); por tanto , f / g también estará definida en un intervalo abierto centrado en a . i )
ii )
( f + g ) ′ ( f + g )( a + h ) − ( f + g )( a ) ( a ) = lím h→0 h f ( a + h ) + g ( a + h ) − f ( a ) − g ( a )
= lím h→0 h f ( a + h ) − f ( a ) g ( a + h ) − g ( a )
= lím
+ lím h→0 h h→0 h
= f ′ ( a ) + g ′ ( a ).
( fg ) ′ ( fg )( a + h ) − ( fg )( a ) ( a ) = lím h→0 h f ( a + h ) g ( a + h ) − f ( a ) g ( a )
= lím h→0 h
al ser g continua en a .
= lím g ( a + h ) f ( a + h ) − f ( a ) h→0 h = g ( a ) · f ′ ( a ) + f ( a ) · g ′ ( a ),
+ f ( a ) lím h→0 g ( a + h ) − g ( a ) h