CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 64
Vemos , por tanto , que hay funciones continuas en un punto a que no son diferenciables en dicho punto . Sin embargo , probaremos a continuación que la derivabilidad de una función en un punto implica su continuidad . Esto es consecuencia directa del siguiente resultado , que es importante en sí mismo :
Proposición 4.5 . f : R → R es derivable en a si y sólo si existen un número l ∈ R y una función g : R → R definida un intervalo de la forma ( −δ , δ ) ( con δ > 0 ) tales que
f ( a + h ) = f ( a ) + hl + hg ( h ), ∀h ∈ ( −δ , δ ) ( 4.2 ) y lím g ( h ) = 0 . ( 4 . 3 ) h→0
Si esto ocurre , se cumple además que l = f ′ ( a ).
Demostración . Si f es diferenciable en a , f está definida en un intervalo de la forma ( a−δ , a + δ ) con δ > 0 . Basta entonces definir g en ( −δ , δ ) mediante
g ( h ) = f ( a + h ) − f ( a ) h
− f ′ ( a ), h ∈ ( −δ , δ ), h ≠ 0
y ( por ejemplo ) g ( 0 ) = 0 . Al ser f derivable en a se cumple lím g ( h ) = f ′ ( a ) − f ′ ( a ) = 0 . h→0
Nótese que , tal como hemos definido g ( 0 ), g es continua en 0 . Recíprocamente , si se cumple ( 4.2 )–( 4.3 ) entonces f está definida en
( a − δ , a + δ ), y se tiene
f ′ f ( a + h ) − f ( a ) [ ] ( a ) = lím
= lím l + g ( h ) = l + 0 = l . h→0 h h→0
Luego f es derivable en a , y f ′ ( a ) = l . Q . E . D . Corolario 4.6 . Si f es derivable en a , entonces f es continua en a .
Demostración . En efecto , al estar f definida en un intervalo centrado en a dicho punto es punto de acumulación de domf . Además , por la proposición anterior , para h ∈ ( − δ , δ ) se tiene
lím f ( a + h ) = lím
[ f ( a ) + hf ′ ( a ) + hg ( h ) ] = f ( a ) + f ′ ( a ) · 0 + 0 · 0 = f ( a ). h→0 h→0
Q . E . D .