CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 64
Vemos, por tanto, que hay funciones continuas en un punto a que no son diferenciables en dicho punto. Sin embargo, probaremos a continuación que la derivabilidad de una función en un punto implica su continuidad. Esto es consecuencia directa del siguiente resultado, que es importante en sí mismo:
Proposición 4.5. f: R → R es derivable en a si y sólo si existen un número l ∈ R y una función g: R → R definida un intervalo de la forma( −δ, δ)( con δ > 0) tales que
f( a + h) = f( a) + hl + hg( h), ∀h ∈( −δ, δ)( 4.2) y lím g( h) = 0.( 4. 3) h→0
Si esto ocurre, se cumple además que l = f ′( a).
Demostración. Si f es diferenciable en a, f está definida en un intervalo de la forma( a−δ, a + δ) con δ > 0. Basta entonces definir g en( −δ, δ) mediante
g( h) = f( a + h) − f( a) h
− f ′( a), h ∈( −δ, δ), h ≠ 0
y( por ejemplo) g( 0) = 0. Al ser f derivable en a se cumple lím g( h) = f ′( a) − f ′( a) = 0. h→0
Nótese que, tal como hemos definido g( 0), g es continua en 0. Recíprocamente, si se cumple( 4.2)–( 4.3) entonces f está definida en
( a − δ, a + δ), y se tiene
f ′ f( a + h) − f( a) [ ]( a) = lím
= lím l + g( h) = l + 0 = l. h→0 h h→0
Luego f es derivable en a, y f ′( a) = l. Q. E. D. Corolario 4.6. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.
Demostración. En efecto, al estar f definida en un intervalo centrado en a dicho punto es punto de acumulación de domf. Además, por la proposición anterior, para h ∈( − δ, δ) se tiene
lím f( a + h) = lím
[ f( a) + hf ′( a) + hg( h) ] = f( a) + f ′( a) · 0 + 0 · 0 = f( a). h→0 h→0
Q. E. D.