CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 63
Definición 4.2 . La función f : R → R es derivable ( ó diferenciable ) por la derecha en a si está definida en un intervalo de la forma [ a , a + δ ) con δ > 0 , y existe el límite lateral
f ( a + h ) − f ( a ) lím
= f ′ ( a + 0 ). h→0 + h
Al número f ′ ( a + 0 ) se le llama derivada lateral por la derecha de f en a . Análogamente , f es derivable ( ó diferenciable ) por la izquierda en a si está definida en un intervalo de la forma ( a − δ , a ] con δ > 0 , y existe el límite lateral f ( a + h ) − f ( a ) lím
= f ′ ( a − 0 ), h→0− h al que se denomina derivada lateral por la izquierda de f en a .
Es inmediato probar que f es derivable en a si y sólo si f es derivable a la vez por la izquierda y por la derecha en a , y ambas derivadas laterales coinciden . En tal caso f ′ ( a + 0 ) = f ′ ( a − 0 ) = f ′ ( a ).
Ejemplo 4.3 . La función f ( x ) = | x | no es derivable en 0 ( véase la fig . 4.2 ). En efecto ,
f ′ h − 0 ( 0 + 0 ) = lím = 1 , f ′ −h − 0
( 0 − 0 ) = lím = −1 . h→0 + h h→0− h
| x | x
Figura 4.2 : gráfica de f ( x ) = | x |
Ejemplo 4.4 . La función f ( x ) = √ x ( x ≥ 0 ) no puede ser derivable en 0 , ya que no está definida en ningún intervalo abierto centrado en 0 . Tampoco es derivable por la derecha en 0 , ya que
f ( h ) − f ( 0 ) lím = lím h→0 + h h→0 +
√ h h = lím h→0 +
1 √ h
= ∞ .
Geométricamente , lo que ocurre es que la tangente a la gráfica de f en ( 0,0 ) es la recta vertical x = 0 ( cf . fig . 2.1 ).