CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 63
Definición 4.2. La función f: R → R es derivable( ó diferenciable) por la derecha en a si está definida en un intervalo de la forma [ a, a + δ) con δ > 0, y existe el límite lateral
f( a + h) − f( a) lím
= f ′( a + 0). h→0 + h
Al número f ′( a + 0) se le llama derivada lateral por la derecha de f en a. Análogamente, f es derivable( ó diferenciable) por la izquierda en a si está definida en un intervalo de la forma( a − δ, a ] con δ > 0, y existe el límite lateral f( a + h) − f( a) lím
= f ′( a − 0), h→0− h al que se denomina derivada lateral por la izquierda de f en a.
Es inmediato probar que f es derivable en a si y sólo si f es derivable a la vez por la izquierda y por la derecha en a, y ambas derivadas laterales coinciden. En tal caso f ′( a + 0) = f ′( a − 0) = f ′( a).
Ejemplo 4.3. La función f( x) = | x | no es derivable en 0( véase la fig. 4.2). En efecto,
f ′ h − 0( 0 + 0) = lím = 1, f ′ −h − 0
( 0 − 0) = lím = −1. h→0 + h h→0− h
| x | x
Figura 4.2: gráfica de f( x) = | x |
Ejemplo 4.4. La función f( x) = √ x( x ≥ 0) no puede ser derivable en 0, ya que no está definida en ningún intervalo abierto centrado en 0. Tampoco es derivable por la derecha en 0, ya que
f( h) − f( 0) lím = lím h→0 + h h→0 +
√ h h = lím h→0 +
1 √ h
= ∞.
Geométricamente, lo que ocurre es que la tangente a la gráfica de f en( 0,0) es la recta vertical x = 0( cf. fig. 2.1).