CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 62
El límite de este número cuando Q tiende a P ( si es que dicho límite existe ), es decir f ( a + h ) − f ( a ) lím
, ( 4.1 ) h→0 h debería ser igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en ( a , f ( a )). Estas consideraciones geométricas motivan la siguiente definición :
Definición 4.1 . Una función f : R → R es derivable ( ó diferenciable ) en a si está definida en un intervalo de la forma ( a − δ , a + δ ) con δ > 0 , y existe el límite ( 4.1 ). Si f es derivable en a , el valor del límite ( 4.1 ) se denomina la derivada de f en a y se denota por f ′ ( a ):
f ′ f ( a + h ) − f ( a ) ( a ) = lím
. h→0 h
Si f : R → R es una función su derivada es la función f ′ : R → R cuyo valor f ′ ( a ) en un punto a es la derivada de f en dicho punto . Naturalmente ,
A la cantidad
dom f ′ = { x ∈ dom f : f es derivable en x } ⊂ domf .
∆f ( a ; h ) = f ( a + h ) − f ( a )
se le llama incremento de f en a , mientras que el cociente ( f ( a + h ) − f ( a )
)
/ h se denomina cociente incremental de f en a .
Si f ( x ) = cx + d ( con c , d constantes arbitrarias ) entonces f ′ ( x ) = c para todo x en R . En particular , las funciones constantes tienen derivada 0 en todo R . En efecto ,
f ′ f ( x + h ) − f ( x ) ( x ) = lím h→0 h = lím h→0 c = c .
= lím h→0 c ( x + h ) + d − ( cx + d ) h
Nótese que un prerequisito para que f sea derivable en a es que f esté definida en un intervalo abierto centrado en a . Por ejemplo , la función x ↦→ x √2 no es derivable en 0 , ya que su dominio es [ 0 , ∞ ). Sin embargo , en este caso existe el límite lateral por la derecha del cociente incremental : f ( h ) − f ( 0 )
√ lím = lím h→0 + h h 2−1
= 0 , h→0 + al que es natural llamar derivada por la derecha en 0 .