CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 62
El límite de este número cuando Q tiende a P( si es que dicho límite existe), es decir f( a + h) − f( a) lím
,( 4.1) h→0 h debería ser igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en( a, f( a)). Estas consideraciones geométricas motivan la siguiente definición:
Definición 4.1. Una función f: R → R es derivable( ó diferenciable) en a si está definida en un intervalo de la forma( a − δ, a + δ) con δ > 0, y existe el límite( 4.1). Si f es derivable en a, el valor del límite( 4.1) se denomina la derivada de f en a y se denota por f ′( a):
f ′ f( a + h) − f( a)( a) = lím
. h→0 h
Si f: R → R es una función su derivada es la función f ′: R → R cuyo valor f ′( a) en un punto a es la derivada de f en dicho punto. Naturalmente,
A la cantidad
dom f ′ = { x ∈ dom f: f es derivable en x } ⊂ domf.
∆f( a; h) = f( a + h) − f( a)
se le llama incremento de f en a, mientras que el cociente( f( a + h) − f( a)
)
/ h se denomina cociente incremental de f en a.
Si f( x) = cx + d( con c, d constantes arbitrarias) entonces f ′( x) = c para todo x en R. En particular, las funciones constantes tienen derivada 0 en todo R. En efecto,
f ′ f( x + h) − f( x)( x) = lím h→0 h = lím h→0 c = c.
= lím h→0 c( x + h) + d −( cx + d) h
Nótese que un prerequisito para que f sea derivable en a es que f esté definida en un intervalo abierto centrado en a. Por ejemplo, la función x ↦→ x √2 no es derivable en 0, ya que su dominio es [ 0, ∞). Sin embargo, en este caso existe el límite lateral por la derecha del cociente incremental: f( h) − f( 0)
√ lím = lím h→0 + h h 2−1
= 0, h→0 + al que es natural llamar derivada por la derecha en 0.