CAPÍTULO 4 . DERIVACIÓN 93
De esto se deduce que f no tiene mínimos en este intervalo ( ni locales ni globales ; el ínfimo de im f en este intervalo existe y es igual a cero ), mientras que el máximo de f en ( −∞ , 0 ] está en el origen , con valor máximo igual a f ( 0 ) = 5 / 4 .
En [ 0,3 ]
por lo que
f ( x ) = 1 1 + x + 1
1 + 3 − x = 1 1 + x + 1
4 − x , 0 ≤ x ≤ 3 , f ′ 1 ( x ) = −
( 1 + x ) 2 + 1 ( 4 − x ) 2 = 5 ( 2x − 3 )
( x + 1 ) 2 ( x − 4 ) 2 , 0 < x < 3 ,
siendo f ′ ( 0 + 0 ) = −15 / 16 y f ′ ( 3 −0 ) = 15 / 16 . En este intervalo f ′ se anula sólo en el punto 3 / 2 , es negativa si 0 < x < 3 / 2 y positiva si 3 / 2 < x < 3 . Por tanto , f tiene un mínimo ( local y global ) en [ 0,3 ] en el punto 3 / 2 ( siendo f ( 3 / 2 ) = 4 / 5 ). Como f ( 0 ) = f ( 3 ) = 5 / 4 , los máximos de f en este intervalo son los extremos de dicho intervalo ( 0 y 3 ).
Finalmente , en [ 3 , ∞ ) se cumple y f ( x ) = 1 1 + x + 1
1 + x − 3 = 1 1 + x + 1 x − 2 , x ≥ 0 , f ′ 1 ( x ) = −
( 1 + x ) 2 − 1 ( x − 2 ) 2 < 0 , ∀x > 0 ,
siendo f ′ ( 3 + 0 ) = −17 / 16 . Por tanto , f es decreciente en [ 0 , ∞ ), con un máximo en 3 ( f ( 3 ) = 5 / 4 ) y sin mínimo ( el ínfimo de imf en este intervalo es igual a lím x→∞ f ( x ) = 0 ).
En particular , hemos demostrado que
1 1 + | x | + 1
1 + | x − 3 | ≤ 5 4 , ∀x ∈ R .
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-10 -5 5 10
Figura 4.12 : gráfica de la función f ( x ) = 1 /( 1 + | x |) + 1 /( 1 + | x − 3 |)