CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN 93
De esto se deduce que f no tiene mínimos en este intervalo( ni locales ni globales; el ínfimo de im f en este intervalo existe y es igual a cero), mientras que el máximo de f en( −∞, 0 ] está en el origen, con valor máximo igual a f( 0) = 5 / 4.
En [ 0,3 ]
por lo que
f( x) = 1 1 + x + 1
1 + 3 − x = 1 1 + x + 1
4 − x, 0 ≤ x ≤ 3, f ′ 1( x) = −
( 1 + x) 2 + 1( 4 − x) 2 = 5( 2x − 3)
( x + 1) 2( x − 4) 2, 0 < x < 3,
siendo f ′( 0 + 0) = −15 / 16 y f ′( 3 −0) = 15 / 16. En este intervalo f ′ se anula sólo en el punto 3 / 2, es negativa si 0 < x < 3 / 2 y positiva si 3 / 2 < x < 3. Por tanto, f tiene un mínimo( local y global) en [ 0,3 ] en el punto 3 / 2( siendo f( 3 / 2) = 4 / 5). Como f( 0) = f( 3) = 5 / 4, los máximos de f en este intervalo son los extremos de dicho intervalo( 0 y 3).
Finalmente, en [ 3, ∞) se cumple y f( x) = 1 1 + x + 1
1 + x − 3 = 1 1 + x + 1 x − 2, x ≥ 0, f ′ 1( x) = −
( 1 + x) 2 − 1( x − 2) 2 < 0, ∀x > 0,
siendo f ′( 3 + 0) = −17 / 16. Por tanto, f es decreciente en [ 0, ∞), con un máximo en 3( f( 3) = 5 / 4) y sin mínimo( el ínfimo de imf en este intervalo es igual a lím x→∞ f( x) = 0).
En particular, hemos demostrado que
1 1 + | x | + 1
1 + | x − 3 | ≤ 5 4, ∀x ∈ R.
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-10-5 5 10
Figura 4.12: gráfica de la función f( x) = 1 /( 1 + | x |) + 1 /( 1 + | x − 3 |)