CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 5
1.2 . Consecuencias de los axiomas de cuerpo
Proposición 1.3 . Si ( F , + , · ) es un cuerpo entonces se cumple : i ) 0 es único : si x + 0 ′ = x , ∀x ∈ F , entonces 0 ′ = 0 .
En efecto , 0 + 0 ′ = 0 ( por ser 0 ′ cero ) = 0 ′ ( por ser 0 cero ) ⇒ 0 = 0 ′ . ii ) El inverso respecto de la suma es único : x + y = 0 = x + y ′ ⇒ y = y ′ .
En efecto , y +( x + y ) = y +( x + y ′ ) ⇒ ( y + x )+ y = ( y + x )+ y ′ ⇒ y = y ′ .
• Debido a esta propiedad , podemos llamar a partir de ahora −x al inverso de x respecto de la suma .
• De la unicidad del inverso respecto de la suma se deduce que − ( −x ) = x , ∀x ∈ F .
• A partir de ahora , x − y denotará el número x + ( −y ).
iii ) Si a , b ∈ F , la ecuación x + a = b tiene la solución única x = b − a . iv ) 1 es único : si 1 ′ · x = x , ∀x ∈ F , entonces 1 ′ = 1 .
v ) El inverso respecto del producto es único : si x ≠ 0 , xy = 1 = xy ′ ⇒ y = y ′ .
• Debido a esta propiedad , podemos llamar a partir de ahora x −1 = 1 x al inverso de x respecto del producto .
• De la unicidad del inverso respecto del producto se sigue que ( x −1 ) −1 = x , ∀x ≠ 0 , x ∈ F .
• A partir de ahora , y x denotará el número y 1 x .
vi ) Si x , y ≠ 0 , entonces 1 xy = 1 1 x y . vii ) Si a , b ∈ F y a ≠ 0 , la ecuación ax = b tiene la solución única x = b a . viii ) ∀x ∈ F se tiene 0 · x = 0 .
En efecto , 0 · x = ( 0 + 0 )· x = 0 · x + 0 · x ⇒ 0 · x = 0 ( sumando − ( 0 · x )). Corolario 1.4 . 0 −1 no existe en ningún cuerpo .
En efecto , ∀x ∈ F se tiene x · 0 = 0 ≠ 1 .
Todo cuerpo incluye los elementos 1 ≠ 0 , 1 + 1 = 2 , 1 + 1 + 1 = 3 , etc ., análogos a los números naturales . La diferencia es que puede ocurrir que k = } 1 + 1 +
{{
· · · + 1 } = 0 . Por ejemplo , 2 = 0 en el cuerpo { 0,1 }. Esto motiva k veces la siguiente definición :