CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 5
1.2. Consecuencias de los axiomas de cuerpo
Proposición 1.3. Si( F, +, ·) es un cuerpo entonces se cumple: i) 0 es único: si x + 0 ′ = x, ∀x ∈ F, entonces 0 ′ = 0.
En efecto, 0 + 0 ′ = 0( por ser 0 ′ cero) = 0 ′( por ser 0 cero) ⇒ 0 = 0 ′. ii) El inverso respecto de la suma es único: x + y = 0 = x + y ′ ⇒ y = y ′.
En efecto, y +( x + y) = y +( x + y ′) ⇒( y + x)+ y =( y + x)+ y ′ ⇒ y = y ′.
• Debido a esta propiedad, podemos llamar a partir de ahora −x al inverso de x respecto de la suma.
• De la unicidad del inverso respecto de la suma se deduce que −( −x) = x, ∀x ∈ F.
• A partir de ahora, x − y denotará el número x +( −y).
iii) Si a, b ∈ F, la ecuación x + a = b tiene la solución única x = b − a. iv) 1 es único: si 1 ′ · x = x, ∀x ∈ F, entonces 1 ′ = 1.
v) El inverso respecto del producto es único: si x ≠ 0, xy = 1 = xy ′ ⇒ y = y ′.
• Debido a esta propiedad, podemos llamar a partir de ahora x −1 = 1 x al inverso de x respecto del producto.
• De la unicidad del inverso respecto del producto se sigue que( x −1) −1 = x, ∀x ≠ 0, x ∈ F.
• A partir de ahora, y x denotará el número y 1 x.
vi) Si x, y ≠ 0, entonces 1 xy = 1 1 x y. vii) Si a, b ∈ F y a ≠ 0, la ecuación ax = b tiene la solución única x = b a. viii) ∀x ∈ F se tiene 0 · x = 0.
En efecto, 0 · x =( 0 + 0)· x = 0 · x + 0 · x ⇒ 0 · x = 0( sumando −( 0 · x)). Corolario 1.4. 0 −1 no existe en ningún cuerpo.
En efecto, ∀x ∈ F se tiene x · 0 = 0 ≠ 1.
Todo cuerpo incluye los elementos 1 ≠ 0, 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, etc., análogos a los números naturales. La diferencia es que puede ocurrir que k = } 1 + 1 +
{{
· · · + 1 } = 0. Por ejemplo, 2 = 0 en el cuerpo { 0,1 }. Esto motiva k veces la siguiente definición: