Capítulo 1
La recta real
1.1 . Concepto de cuerpo
Definición 1.1 . Un cuerpo es un conjunto F en el que hay definidas dos operaciones + : F × F → F , · : F × F → F ( suma y producto , respectivamente ) y dos elementos 0 ≠ 1 que cumplen las propiedades siguientes :
I ) ( F ,+) es grupo abeliano : si x , y , z ∈ F se tiene
i ) x + y = y + x ( propiedad conmutativa ) ii ) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ( propiedad asociativa ) iii ) x + 0 = x , ∀x ∈ F ( elemento neutro ó cero ) iv ) ∀x ∈ F , ∃y ∈ F tal que x + y = 0 ( inverso respecto de la suma ) II ) ( F − { 0 }, ·) es grupo abeliano : si x , y , z ∈ F se tiene v ) x · y = y · x ( propiedad conmutativa ) vi ) ( x · y ) · z = x · ( y · z ) ( propiedad asociativa ) vii ) 1 · x = x , ∀x ∈ F ( elemento neutro ó unidad )
viii ) ∀x ∈ F con x ≠ 0 , ∃y ∈ F tal que x · y = 1 producto )
( inverso respecto del
III ) Propiedad distributiva de la suma respecto del producto : ix ) x · ( y + z ) = x · y + x · z ,
∀x , y , z ∈ F A partir de ahora , escribiremos xy en lugar de x · y .
Ejemplo 1.2 . Los conjuntos N y Z no son cuerpos . El conjunto Q sí lo es . El cuerpo más pequeño es el conjunto { 0,1 } con la suma y multiplicación usuales módulo 2 .
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