Capítulo 1
La recta real
1.1. Concepto de cuerpo
Definición 1.1. Un cuerpo es un conjunto F en el que hay definidas dos operaciones +: F × F → F, ·: F × F → F( suma y producto, respectivamente) y dos elementos 0 ≠ 1 que cumplen las propiedades siguientes:
I)( F,+) es grupo abeliano: si x, y, z ∈ F se tiene
i) x + y = y + x( propiedad conmutativa) ii)( x + y) + z = x +( y + z)( propiedad asociativa) iii) x + 0 = x, ∀x ∈ F( elemento neutro ó cero) iv) ∀x ∈ F, ∃y ∈ F tal que x + y = 0( inverso respecto de la suma) II)( F − { 0 }, ·) es grupo abeliano: si x, y, z ∈ F se tiene v) x · y = y · x( propiedad conmutativa) vi)( x · y) · z = x ·( y · z)( propiedad asociativa) vii) 1 · x = x, ∀x ∈ F( elemento neutro ó unidad)
viii) ∀x ∈ F con x ≠ 0, ∃y ∈ F tal que x · y = 1 producto)
( inverso respecto del
III) Propiedad distributiva de la suma respecto del producto: ix) x ·( y + z) = x · y + x · z,
∀x, y, z ∈ F A partir de ahora, escribiremos xy en lugar de x · y.
Ejemplo 1.2. Los conjuntos N y Z no son cuerpos. El conjunto Q sí lo es. El cuerpo más pequeño es el conjunto { 0,1 } con la suma y multiplicación usuales módulo 2.
4