CAPÍTULO 0. PRELIMINARES 3
de donde se deduce que el miembro derecho está contenido en el miembro izquierdo. Recíprocamente, si x ∈ A ∩( B ∪ C) entonces x ∈ A y x ∈ B ∪ C, es decir( x ∈ A y x ∈ B) ó( x ∈ A y x ∈ C), de donde se deduce que x ∈( A ∩B) ∪( A ∩C). Esto prueba que el miembro izquierdo está contenido en el miembro derecho.
En general, si I es un conjunto de índices arbitrario( finito ó infinito) tal que a todo i ∈ I le corresponde un conjunto A i, se define la unión y la intersección de la familia de conjuntos { A i: i ∈ I } mediante las fórmulas
⋃ A i = { x: ∃j ∈ I tal que x ∈ A j } i∈I
⋂ A i = { x: x ∈ A j, ∀j ∈ I }. i∈I
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B = {( x, y): x ∈ A, y ∈ B }. Nótese que en esta definición( x, y) es un par ordenado. En otras palabras,( x 1, y 1) =( x 2, y 2) ⇐⇒ x 1 = x 2 e y 1 = y 2.
De esto se deduce que A × B no tiene por qué ser igual a B × A.( Ejercicio: ¿ cuándo es A × B = B × A?) Más generalmente, dados n conjuntos A 1,..., A n definiremos su producto cartesiano mediante
A 1 × A 2 × · · · × A n = {( x 1, x 2,..., x n): x i ∈ A i, ∀i = 1,2,..., n }. En particular, si A 1 = A 2 = · · · = A n = A escribiremos
En otras palabras,
} A × A ×
{{
· · · × A } = A n. n veces
A n = {( x 1, x 2,..., x n): x i ∈ A, ∀i = 1,2,..., n }. Ejercicio. ¿ Son iguales los conjuntos ∅, { ∅ }, { { ∅ } }?