CAPÍTULO 0 . PRELIMINARES 3
de donde se deduce que el miembro derecho está contenido en el miembro izquierdo . Recíprocamente , si x ∈ A ∩ ( B ∪ C ) entonces x ∈ A y x ∈ B ∪ C , es decir ( x ∈ A y x ∈ B ) ó ( x ∈ A y x ∈ C ) , de donde se deduce que x ∈ ( A ∩B ) ∪ ( A ∩C ). Esto prueba que el miembro izquierdo está contenido en el miembro derecho .
En general , si I es un conjunto de índices arbitrario ( finito ó infinito ) tal que a todo i ∈ I le corresponde un conjunto A i , se define la unión y la intersección de la familia de conjuntos { A i : i ∈ I } mediante las fórmulas
⋃ A i = { x : ∃j ∈ I tal que x ∈ A j } i∈I
⋂ A i = { x : x ∈ A j , ∀j ∈ I }. i∈I
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B = { ( x , y ) : x ∈ A , y ∈ B } . Nótese que en esta definición ( x , y ) es un par ordenado . En otras palabras , ( x 1 , y 1 ) = ( x 2 , y 2 ) ⇐⇒ x 1 = x 2 e y 1 = y 2 .
De esto se deduce que A × B no tiene por qué ser igual a B × A . ( Ejercicio : ¿ cuándo es A × B = B × A ?) Más generalmente , dados n conjuntos A 1 ,..., A n definiremos su producto cartesiano mediante
A 1 × A 2 × · · · × A n = { ( x 1 , x 2 ,... , x n ) : x i ∈ A i , ∀i = 1,2 ,... , n } . En particular , si A 1 = A 2 = · · · = A n = A escribiremos
En otras palabras ,
} A × A ×
{{
· · · × A } = A n . n veces
A n = { ( x 1 , x 2 ,..., x n ) : x i ∈ A , ∀i = 1,2 ,... , n } . Ejercicio . ¿ Son iguales los conjuntos ∅ , { ∅ }, { { ∅ } } ?