CAPÍTULO 0. PRELIMINARES 2
i) ∀B ∈ P( A), B ⊂ B( propiedad reflexiva) ii) ∀B, C ∈ P( A), B ⊂ C y C ⊂ B = ⇒ B = C( prop. antisimétrica) iii) ∀B, C, D ∈ P( A), B ⊂ C y C ⊂ D = ⇒ B ⊂ D( propiedad transitiva)
Evidentemente, cualquiera que sea A los conjuntos ∅ y A son subconjuntos de A( i. e., son elementos del conjunto P( A)). A estos dos subconjuntos en cierto modo triviales se les llama subconjuntos impropios de A, mientras que un subconjunto propio de A es cualquier subconjunto de A distinto de ∅ y de A.
Dados dos conjuntos A y B, se definen los conjuntos A∩B( intersección de A con B) y A ∪ B( unión de A y B) mediante
A ∩ B = { x: x ∈ A y x ∈ B }, A ∪ B = { x: x ∈ A ó x ∈ B }.
Obviamente, A∩B ⊂ A, B ⊂ A∪B. Denotaremos por A−B a la diferencia de los conjuntos A y B, definida por
A − B = { x ∈ A: x / ∈ B } = A ∩ { x: x / ∈ B }.
La unión y la intersección de conjuntos gozan de las siguientes propiedades elementales:
i) A ∩ B = B ∩ A,( A ∩ B) ∩ C = A ∩( B ∩ C) ii) A ∩ B = A ⇐⇒ A ⊂ B iii) A ∩ ∅ = ∅ iv) A ∪ B = B ∪ A,( A ∪ B) ∪ C = A ∪( B ∪ C) v) A ∪ B = A ⇐⇒ B ⊂ A vi) A ∪ ∅ = A vii) A ⊂ B = ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C,
A ⊂ C, B ⊂ C = ⇒ A ∪ B ⊂ C
La unión y la intersección verifican además las siguientes propiedades distributivas:
i) A ∩( B ∪ C) =( A ∩ B) ∪( A ∩ C) ii) A ∪( B ∩ C) =( A ∪ B) ∩( A ∪ C)
Demostremos, por ejemplo, la primera de estas igualdades. En virtud de la definición de igualdad de dos conjuntos, basta probar que el miembro izquierdo está contenido en el miembro derecho y viceversa. En primer lugar,
B, C ⊂ B ∪ C = ⇒ A ∩ B ⊂ A ∩( B ∪ C), A ∩ C ⊂ A ∩( B ∪ C),