CAPÍTULO 0 . PRELIMINARES 2
i ) ∀B ∈ P ( A ), B ⊂ B ( propiedad reflexiva ) ii ) ∀B , C ∈ P ( A ), B ⊂ C y C ⊂ B = ⇒ B = C ( prop . antisimétrica ) iii ) ∀B , C , D ∈ P ( A ), B ⊂ C y C ⊂ D = ⇒ B ⊂ D ( propiedad transitiva )
Evidentemente , cualquiera que sea A los conjuntos ∅ y A son subconjuntos de A ( i . e ., son elementos del conjunto P ( A )). A estos dos subconjuntos en cierto modo triviales se les llama subconjuntos impropios de A , mientras que un subconjunto propio de A es cualquier subconjunto de A distinto de ∅ y de A .
Dados dos conjuntos A y B , se definen los conjuntos A∩B ( intersección de A con B ) y A ∪ B ( unión de A y B ) mediante
A ∩ B = { x : x ∈ A y x ∈ B }, A ∪ B = { x : x ∈ A ó x ∈ B } .
Obviamente , A∩B ⊂ A , B ⊂ A∪B . Denotaremos por A−B a la diferencia de los conjuntos A y B , definida por
A − B = { x ∈ A : x / ∈ B } = A ∩ { x : x / ∈ B }.
La unión y la intersección de conjuntos gozan de las siguientes propiedades elementales :
i ) A ∩ B = B ∩ A , ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) ii ) A ∩ B = A ⇐⇒ A ⊂ B iii ) A ∩ ∅ = ∅ iv ) A ∪ B = B ∪ A , ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) v ) A ∪ B = A ⇐⇒ B ⊂ A vi ) A ∪ ∅ = A vii ) A ⊂ B = ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C ,
A ⊂ C , B ⊂ C = ⇒ A ∪ B ⊂ C
La unión y la intersección verifican además las siguientes propiedades distributivas :
i ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ii ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
Demostremos , por ejemplo , la primera de estas igualdades . En virtud de la definición de igualdad de dos conjuntos , basta probar que el miembro izquierdo está contenido en el miembro derecho y viceversa . En primer lugar ,
B , C ⊂ B ∪ C = ⇒ A ∩ B ⊂ A ∩ ( B ∪ C ), A ∩ C ⊂ A ∩ ( B ∪ C ),