CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 6
Definición 1.5 . La característica de un cuerpo es el número natural p más pequeño tal que } 1 + 1 +
{{
· · · + 1 } = 0 . Si 1 + 1 +· · ·+ 1 es siempre distinto p veces de cero , diremos que la característica es cero .
Por ejemplo , { 0, 1 } tiene característica 2 , mientras que Q tiene característica 0 . Todo cuerpo con característica 0 incluye el conjunto infinito { 1,2 = 1 + 1,3 = 2 + 1 ,... }, que es equivalente a N y denotaremos simplemente por N a partir de ahora . Por el mismo motivo , un cuerpo de característica 0 contiene también ( conjuntos equivalentes ) a Z y Q .
Proposición 1.6 . Si la característica de un cuerpo es distinta de cero , entonces es un número primo .
Esto es consecuencia de la siguiente importante proposición :
Proposición 1.7 . Sea F un cuerpo , y sean a , b ∈ F . Si ab = 0 , entonces a = 0 ó b = 0 .
Demostración . Si a ≠ 0 , multiplicando por a −1 obtenemos b = 0 . Análogamente , si b ≠ 0 multiplicando por b −1 obtenemos a = 0 . Q . E . D .
En particular , si la característica de un cuerpo fuera un número natural p = rs con 1 < r , s < p , entonces p = 0 ⇒ r = 0 ó s = 0 , y por tanto habría un número “ natural ” ( r ó s ) menor que p e igual a cero .
Nota : para todo numero primo p , hay un cuerpo de característica p . Un ejemplo es el cuerpo { 0,1 ,... , p − 1 } con la suma y el producto ordinario módulo p .
1.2.1 . Potencias Dado x ∈ F , definimos x 1 = x , x 2 = x · x ,... , x n = x } · x {{ · · · · · x}
( ó , si se n veces quiere , x 1 = x y x n + 1 = x · x n , recursivamente ). Esto define x n para todo
n ∈ N . Además , si n , m ∈ N se tiene
x n x m = x n + m .
[ Dem .: fíjese n y aplíquese inducción sobre m .]
Si x ≠ 0 , podemos definir x n para todo n ∈ Z imponiendo que la fórmula anterior sea válida para todo n , m ∈ Z . En primer lugar , como x n + 0 = x n x 0 = x n ( n ∈ N ), debemos definir x 0 = 1 . Análogamente , al ser x 0 = 1 =
x n−n = x n x −n , debemos definir x −n = 1 para todo n ∈ N . Definiendo de xn esta forma x k para k ∈ Z , se demuestra que la fórmula anterior es válida para todo par de enteros m y n :