CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 6
Definición 1.5. La característica de un cuerpo es el número natural p más pequeño tal que } 1 + 1 +
{{
· · · + 1 } = 0. Si 1 + 1 +· · ·+ 1 es siempre distinto p veces de cero, diremos que la característica es cero.
Por ejemplo, { 0, 1 } tiene característica 2, mientras que Q tiene característica 0. Todo cuerpo con característica 0 incluye el conjunto infinito { 1,2 = 1 + 1,3 = 2 + 1,... }, que es equivalente a N y denotaremos simplemente por N a partir de ahora. Por el mismo motivo, un cuerpo de característica 0 contiene también( conjuntos equivalentes) a Z y Q.
Proposición 1.6. Si la característica de un cuerpo es distinta de cero, entonces es un número primo.
Esto es consecuencia de la siguiente importante proposición:
Proposición 1.7. Sea F un cuerpo, y sean a, b ∈ F. Si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0.
Demostración. Si a ≠ 0, multiplicando por a −1 obtenemos b = 0. Análogamente, si b ≠ 0 multiplicando por b −1 obtenemos a = 0. Q. E. D.
En particular, si la característica de un cuerpo fuera un número natural p = rs con 1 < r, s < p, entonces p = 0 ⇒ r = 0 ó s = 0, y por tanto habría un número“ natural”( r ó s) menor que p e igual a cero.
Nota: para todo numero primo p, hay un cuerpo de característica p. Un ejemplo es el cuerpo { 0,1,..., p − 1 } con la suma y el producto ordinario módulo p.
1.2.1. Potencias Dado x ∈ F, definimos x 1 = x, x 2 = x · x,..., x n = x } · x {{ · · · · · x}
( ó, si se n veces quiere, x 1 = x y x n + 1 = x · x n, recursivamente). Esto define x n para todo
n ∈ N. Además, si n, m ∈ N se tiene
x n x m = x n + m.
[ Dem.: fíjese n y aplíquese inducción sobre m.]
Si x ≠ 0, podemos definir x n para todo n ∈ Z imponiendo que la fórmula anterior sea válida para todo n, m ∈ Z. En primer lugar, como x n + 0 = x n x 0 = x n( n ∈ N), debemos definir x 0 = 1. Análogamente, al ser x 0 = 1 =
x n−n = x n x −n, debemos definir x −n = 1 para todo n ∈ N. Definiendo de xn esta forma x k para k ∈ Z, se demuestra que la fórmula anterior es válida para todo par de enteros m y n: