CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 7
Demostración . Si m ó n son cero , o si n , m ∈ N , la afirmación es trivial . Sólo quedan por considerar los siguientes subcasos :
• n > 0 , m = −p < 0 , p ≤ n :
• n > 0 , m = −p < 0 , p > n :
x n x m = x n−p x p 1 x p = xn−p = x n + m .
x n x m = x n 1 x p−n x n = 1 x p−n = xn−p = x n + m .
• n < 0 , m > 0 : se reduce a los casos anteriores intercambiando n y m .
• n = −q < 0 , m = −p < 0 :
x n x m = 1 x q 1 x p = 1 x q x p = 1 x p + q = x− ( p + q ) = x n + m .
Q . E . D .
Nótese que la definición x −1 = 1 x concuerda con el resultado que acabamos de probar . Del mismo modo se demuestra que
x ≠ 0 = ⇒ ( x n ) m = x nm , ∀n , m ∈ Z .
Obsérvese , sin embargo , que hemos evitado definir 0 −n para todo n ∈ N∪ { 0 } ( ya que 1 0 no está definido en un cuerpo ). Por último , mencionaremos las dos propiedades elementales pero útiles siguientes :
Si u ≠ 0 y v ≠ 0 , x u + y v xv + yu = . uv
∀x ∈ F , −x = ( −1 ) x (= ⇒ ( −1 ) 2 = 1 ).
1.3 . Cuerpos ordenados
Recuérdese que una relación en un conjunto A es un subconjunto de A × A . En Q , además de las operaciones de cuerpo hay una relación ≤ que ordena los números racionales , y tiene propiedades bien conocidas . Estas propiedades motivan la siguiente definición general :
Definición 1.8 . Un cuerpo ( F , + , · ) es un cuerpo ordenado si hay una relación ≤ definida en F que cumple las propiedades siguientes :
i ) ∀x ∈ F , x ≤ x ( propiedad reflexiva )
ii ) Si x , y ∈ F , ó bien x ≤ y ó bien y ≤ x ( ó ambas ). Además , si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y .
iii ) Si x , y , z ∈ F , x ≤ y e y ≤ z = ⇒ x ≤ z ( propiedad transitiva )