CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 7
Demostración. Si m ó n son cero, o si n, m ∈ N, la afirmación es trivial. Sólo quedan por considerar los siguientes subcasos:
• n > 0, m = −p < 0, p ≤ n:
• n > 0, m = −p < 0, p > n:
x n x m = x n−p x p 1 x p = xn−p = x n + m.
x n x m = x n 1 x p−n x n = 1 x p−n = xn−p = x n + m.
• n < 0, m > 0: se reduce a los casos anteriores intercambiando n y m.
• n = −q < 0, m = −p < 0:
x n x m = 1 x q 1 x p = 1 x q x p = 1 x p + q = x−( p + q) = x n + m.
Q. E. D.
Nótese que la definición x −1 = 1 x concuerda con el resultado que acabamos de probar. Del mismo modo se demuestra que
x ≠ 0 = ⇒( x n) m = x nm, ∀n, m ∈ Z.
Obsérvese, sin embargo, que hemos evitado definir 0 −n para todo n ∈ N∪ { 0 }( ya que 1 0 no está definido en un cuerpo). Por último, mencionaremos las dos propiedades elementales pero útiles siguientes:
Si u ≠ 0 y v ≠ 0, x u + y v xv + yu =. uv
∀x ∈ F, −x =( −1) x(= ⇒( −1) 2 = 1).
1.3. Cuerpos ordenados
Recuérdese que una relación en un conjunto A es un subconjunto de A × A. En Q, además de las operaciones de cuerpo hay una relación ≤ que ordena los números racionales, y tiene propiedades bien conocidas. Estas propiedades motivan la siguiente definición general:
Definición 1.8. Un cuerpo( F, +, ·) es un cuerpo ordenado si hay una relación ≤ definida en F que cumple las propiedades siguientes:
i) ∀x ∈ F, x ≤ x( propiedad reflexiva)
ii) Si x, y ∈ F, ó bien x ≤ y ó bien y ≤ x( ó ambas). Además, si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y.
iii) Si x, y, z ∈ F, x ≤ y e y ≤ z = ⇒ x ≤ z( propiedad transitiva)