CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 8
iv) Si x, y ∈ F y x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z, ∀z ∈ F v) Si x, y ∈ F, 0 ≤ x y 0 ≤ y = ⇒ 0 ≤ xy
A la relación ≤ se la denomina relación de orden.
A partir de ahora, la notación x ≥ y será equivalente a y ≤ x. Por definición, x < y si y sólo si x ≤ y y x ≠ y. También utilizaremos la notación y > x para indicar que x < y. Una consecuencia de estas definiciones y de los axiomas de ≤ es la propiedad de tricotomía: si x e y son elementos cualesquiera de un cuerpo ordenado, se cumple exactamente una de las tres relaciones x < y, x = y ó x > y.
Ejemplo 1.9. Evidentemente, Q es un cuerpo ordenado. No lo es sin embargo { 0,1 }. En efecto, si definimos 0 < 1 entonces el axioma iv) implica 1 ≤ 0, y como 1 ≠ 0 obtendríamos la contradicción 1 < 0. Del mismo modo, si definiéramos 1 < 0 obtendríamos 0 < 1. De forma análoga se prueba que un cuerpo de característica no nula no puede ordenarse: basta sumar repetidamente 1 a ambos miembros de la desigualdad 0 < 1 ó 1 < 0. Esto prueba la siguiente
Proposición 1.10. Todo cuerpo ordenado tiene característica cero.
Es interesante observar que no hay forma de introducir una relación ≤ en C de forma que( C, ≤) sea un cuerpo ordenado( más adelante veremos la razón). En particular, no todo cuerpo de característica cero es un cuerpo ordenado.
1.4. Consecuencias de los axiomas de orden
Proposición 1.11. Si( F, +, ·, ≤) es un cuerpo ordenado, y x, y, z,... denotan elementos de F, entonces se verifica:
i)( x < y, y ≤ z) = ⇒ x < z
En efecto, x ≤ z por la propiedad transitiva. Si fuera x = z entonces x ≤ y ≤ x ⇒ x = y por el axioma ii).
ii) x ≤ y ⇐⇒ 0 ≤ y − x ⇐⇒ −y ≤ −x ⇐⇒ x − y ≤ 0 Sumar sucesivamente −x, −y y x a la primera desigualdad.
iii) x < y = ⇒ x + z < y + z, ∀z ∈ F iv) x i ≤ y i ∀i = 1,..., n = ⇒ ∑ n i = 1 x i ≤ ∑ n i = 1 y i; si además x j < y j para algún j ∈ { 1,..., n } entonces ∑ n i = 1 x i < ∑ n
i = 1 y i
La primera es consecuencia de aplicar repetidamente el axioma iv), mientras que la segunda es consecuencia de la propiedad i).