CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 8
iv ) Si x , y ∈ F y x ≤ y , entonces x + z ≤ y + z , ∀z ∈ F v ) Si x , y ∈ F , 0 ≤ x y 0 ≤ y = ⇒ 0 ≤ xy
A la relación ≤ se la denomina relación de orden .
A partir de ahora , la notación x ≥ y será equivalente a y ≤ x . Por definición , x < y si y sólo si x ≤ y y x ≠ y . También utilizaremos la notación y > x para indicar que x < y . Una consecuencia de estas definiciones y de los axiomas de ≤ es la propiedad de tricotomía : si x e y son elementos cualesquiera de un cuerpo ordenado , se cumple exactamente una de las tres relaciones x < y , x = y ó x > y .
Ejemplo 1.9 . Evidentemente , Q es un cuerpo ordenado . No lo es sin embargo { 0,1 }. En efecto , si definimos 0 < 1 entonces el axioma iv ) implica 1 ≤ 0 , y como 1 ≠ 0 obtendríamos la contradicción 1 < 0 . Del mismo modo , si definiéramos 1 < 0 obtendríamos 0 < 1 . De forma análoga se prueba que un cuerpo de característica no nula no puede ordenarse : basta sumar repetidamente 1 a ambos miembros de la desigualdad 0 < 1 ó 1 < 0 . Esto prueba la siguiente
Proposición 1.10 . Todo cuerpo ordenado tiene característica cero .
Es interesante observar que no hay forma de introducir una relación ≤ en C de forma que ( C , ≤ ) sea un cuerpo ordenado ( más adelante veremos la razón ). En particular , no todo cuerpo de característica cero es un cuerpo ordenado .
1.4 . Consecuencias de los axiomas de orden
Proposición 1.11 . Si ( F , + , · , ≤ ) es un cuerpo ordenado , y x , y , z ,... denotan elementos de F , entonces se verifica :
i ) ( x < y , y ≤ z ) = ⇒ x < z
En efecto , x ≤ z por la propiedad transitiva . Si fuera x = z entonces x ≤ y ≤ x ⇒ x = y por el axioma ii ).
ii ) x ≤ y ⇐⇒ 0 ≤ y − x ⇐⇒ −y ≤ −x ⇐⇒ x − y ≤ 0 Sumar sucesivamente −x , −y y x a la primera desigualdad .
iii ) x < y = ⇒ x + z < y + z , ∀z ∈ F iv ) x i ≤ y i ∀i = 1 ,... , n = ⇒ ∑ n i = 1 x i ≤ ∑ n i = 1 y i ; si además x j < y j para algún j ∈ { 1 ,... , n } entonces ∑ n i = 1 x i < ∑ n
i = 1 y i
La primera es consecuencia de aplicar repetidamente el axioma iv ), mientras que la segunda es consecuencia de la propiedad i ).