CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 9
v ) x < y ⇐⇒ 0 < y − x ⇐⇒ −y < −x ⇐⇒ x − y < 0 Se demuestra como ii ) utilizando iii ).
Definición 1.12 . Sea ( F , + , · , ≤ ) un cuerpo ordenado . Diremos que x ∈ F es positivo si x > 0 , no negativo si x ≥ 0 , negativo si x < 0 , no positivo si x ≤ 0 .
Por tanto , 0 es el único número no positivo y no negativo a la vez .
1.4.1 . Relaciones entre ≤ y ·
Proposición 1.13 . Si ( F , + , · , ≤ ) es un cuerpo ordenado , y x , y , z son elementos de F , entonces se cumple :
i ) x > 0 , y > 0 = ⇒ xy > 0
Como x ≥ 0 e y ≥ 0 , por el axioma v ) xy ≥ 0 . Si fuera xy = 0 , entonces x = 0 ó y = 0 , contradiciendo la hipótesis .
ii ) x ≤ y , z ≥ 0 = ⇒ xz ≤ yz
(“ Se pueden multiplicar las desigualdades por números positivos ”.) En efecto , y − x ≥ 0 y z ≥ 0 implica por el axioma v ) que z ( y − x ) ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz .
• Nótese que x < y , z > 0 = ⇒ xz < yz ( ya que xz = yz ⇒ x = y al ser z ≠ 0 .)
iii ) x ≤ 0 , y ≥ 0 = ⇒ xy ≤ 0 ; x ≤ 0 , y ≤ 0 = ⇒ xy ≥ 0
Para demostrar la primera , obsérvese que −x ≥ 0 , y ≥ 0 ⇒ ( −x ) y ≥ 0 . Como ( −x ) y = −xy se obtiene −xy ≥ 0 , que es equivalente a xy ≤ 0 . La segunda se demuestra a partir de la primera aplicada a x y a −y .
Corolario 1.14 . Si F es un cuerpo ordenado y x ≠ 0 es un elemento de F , entonces x 2 > 0 .
En otras palabras , ∀x ∈ F se tiene x 2 ≥ 0 , y x 2 = 0 ⇔ x = 0 . Corolario 1.15 . 1 > 0 .
En efecto , 1 = 1 2 y 1 ≠ 0 . Ahora es fácil probar que no se puede introducir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos . En efecto , i 2 = −1 > 0 ⇒ 1 < 0 .
Si F es un cuerpo ordenado , hemos visto que la característica de F es cero , y por tanto F contiene subconjuntos equivalentes a N , Z y Q . Además , a partir de los corolarios anteriores se prueba por inducción que el orden inducido por F en N ( y por tanto en Z y en Q ) coincide con el usual :
Proposición 1.16 . Si F es un cuerpo ordenado , ∀k ∈ N ⊂ F se tiene k + 1 > k > 0 .