CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 9
v) x < y ⇐⇒ 0 < y − x ⇐⇒ −y < −x ⇐⇒ x − y < 0 Se demuestra como ii) utilizando iii).
Definición 1.12. Sea( F, +, ·, ≤) un cuerpo ordenado. Diremos que x ∈ F es positivo si x > 0, no negativo si x ≥ 0, negativo si x < 0, no positivo si x ≤ 0.
Por tanto, 0 es el único número no positivo y no negativo a la vez.
1.4.1. Relaciones entre ≤ y ·
Proposición 1.13. Si( F, +, ·, ≤) es un cuerpo ordenado, y x, y, z son elementos de F, entonces se cumple:
i) x > 0, y > 0 = ⇒ xy > 0
Como x ≥ 0 e y ≥ 0, por el axioma v) xy ≥ 0. Si fuera xy = 0, entonces x = 0 ó y = 0, contradiciendo la hipótesis.
ii) x ≤ y, z ≥ 0 = ⇒ xz ≤ yz
(“ Se pueden multiplicar las desigualdades por números positivos”.) En efecto, y − x ≥ 0 y z ≥ 0 implica por el axioma v) que z( y − x) ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz.
• Nótese que x < y, z > 0 = ⇒ xz < yz( ya que xz = yz ⇒ x = y al ser z ≠ 0.)
iii) x ≤ 0, y ≥ 0 = ⇒ xy ≤ 0; x ≤ 0, y ≤ 0 = ⇒ xy ≥ 0
Para demostrar la primera, obsérvese que −x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒( −x) y ≥ 0. Como( −x) y = −xy se obtiene −xy ≥ 0, que es equivalente a xy ≤ 0. La segunda se demuestra a partir de la primera aplicada a x y a −y.
Corolario 1.14. Si F es un cuerpo ordenado y x ≠ 0 es un elemento de F, entonces x 2 > 0.
En otras palabras, ∀x ∈ F se tiene x 2 ≥ 0, y x 2 = 0 ⇔ x = 0. Corolario 1.15. 1 > 0.
En efecto, 1 = 1 2 y 1 ≠ 0. Ahora es fácil probar que no se puede introducir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos. En efecto, i 2 = −1 > 0 ⇒ 1 < 0.
Si F es un cuerpo ordenado, hemos visto que la característica de F es cero, y por tanto F contiene subconjuntos equivalentes a N, Z y Q. Además, a partir de los corolarios anteriores se prueba por inducción que el orden inducido por F en N( y por tanto en Z y en Q) coincide con el usual:
Proposición 1.16. Si F es un cuerpo ordenado, ∀k ∈ N ⊂ F se tiene k + 1 > k > 0.