CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 10
1.4.2. Otras consecuencias de los axiomas de orden x > 1 ⇒ x 2 > x; 0 < x < 1 ⇒ x 2 < x
0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ z ≤ u = ⇒ xz ≤ yu
En efecto x ≤ y, 0 ≤ z ⇒ xz ≤ yz, y z ≤ u, y ≥ 0 ⇒ yz ≤ uy. Análogamente se demuestra que
0 ≤ x < y, 0 < z ≤ u = ⇒ xz < yu; 0 ≤ x < y, 0 ≤ z < u = ⇒ xz < yu
0 ≤ x < y = ⇒ x n < y n, ∀n ∈ N
Basta aplicar repetidamente la segunda de las propiedades anteriores con z = x, u = y.
Si x ≥ 0 e y ≥ 0 entonces x = y ⇐⇒ x n = y n( n ∈ N). Análogamente, si x ≥ 0 e y ≥ 0 entonces x < y ⇐⇒ x n < y n( n ∈ N).
x > 0 ⇒ 1 / x > 0( pues x · 1 / x = 1 > 0); además
0 < x < y = ⇒ 0 < 1 y < 1 x = ⇒ 0 < y−n < x −n, ∀n ∈ N.
En efecto, para probar la primera implicación basta observar que 1 x >
1
0, y > 0 ⇒ 1 1 x y > 0 y multiplicar la desigualdad x < y por 1 1 x y. La segunda es consecuencia de aplicar repetidamente la primera.
Si z ≥ 0 y z < x para todo x > 0, entonces z = 0. En efecto, si z > 0 entonces haciendo x = z obtendríamos z < z.
1.5. Valor absoluto
Sea, como siempre, F un cuerpo ordenado. Si x ∈ F, ó bien x ≥ 0 ó bien x < 0 ⇔ −x > 0. Por tanto, si definimos el valor absoluto de x( denotado por | x |) mediante
{ x, x ≥ 0
| x | =
−x, x < 0
entonces | x | ≥ 0 para todo x ∈ F, y | x | = 0 ⇔ x = 0. Claramente | x | ≥ x y | x | ≥ −x. De la definición de | x | se sigue inmediatamente que | −x | = | x |. Además, de( −x) 2 = x 2 se obtiene fácilmente que | x | 2 = x 2. Más generalmente, veamos que
| xy | = | x | | y |, ∀x, y ∈ F.
En efecto, como ambos miembros son no negativos basta probar el cuadrado de esta igualdad. Pero
| xy | 2 =( xy) 2 = x 2 y 2 = | x | 2 | y | 2 =(| x | | y |) 2.