CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 10
1.4.2 . Otras consecuencias de los axiomas de orden x > 1 ⇒ x 2 > x ; 0 < x < 1 ⇒ x 2 < x
0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ z ≤ u = ⇒ xz ≤ yu
En efecto x ≤ y , 0 ≤ z ⇒ xz ≤ yz , y z ≤ u , y ≥ 0 ⇒ yz ≤ uy . Análogamente se demuestra que
0 ≤ x < y , 0 < z ≤ u = ⇒ xz < yu ; 0 ≤ x < y , 0 ≤ z < u = ⇒ xz < yu
0 ≤ x < y = ⇒ x n < y n , ∀n ∈ N
Basta aplicar repetidamente la segunda de las propiedades anteriores con z = x , u = y .
Si x ≥ 0 e y ≥ 0 entonces x = y ⇐⇒ x n = y n ( n ∈ N ). Análogamente , si x ≥ 0 e y ≥ 0 entonces x < y ⇐⇒ x n < y n ( n ∈ N ).
x > 0 ⇒ 1 / x > 0 ( pues x · 1 / x = 1 > 0 ); además
0 < x < y = ⇒ 0 < 1 y < 1 x = ⇒ 0 < y−n < x −n , ∀n ∈ N .
En efecto , para probar la primera implicación basta observar que 1 x >
1
0 , y > 0 ⇒ 1 1 x y > 0 y multiplicar la desigualdad x < y por 1 1 x y . La segunda es consecuencia de aplicar repetidamente la primera .
Si z ≥ 0 y z < x para todo x > 0 , entonces z = 0 . En efecto , si z > 0 entonces haciendo x = z obtendríamos z < z .
1.5 . Valor absoluto
Sea , como siempre , F un cuerpo ordenado . Si x ∈ F , ó bien x ≥ 0 ó bien x < 0 ⇔ −x > 0 . Por tanto , si definimos el valor absoluto de x ( denotado por | x |) mediante
{ x , x ≥ 0
| x | =
−x , x < 0
entonces | x | ≥ 0 para todo x ∈ F , y | x | = 0 ⇔ x = 0 . Claramente | x | ≥ x y | x | ≥ −x . De la definición de | x | se sigue inmediatamente que | −x | = | x |. Además , de ( −x ) 2 = x 2 se obtiene fácilmente que | x | 2 = x 2 . Más generalmente , veamos que
| xy | = | x | | y | , ∀x , y ∈ F .
En efecto , como ambos miembros son no negativos basta probar el cuadrado de esta igualdad . Pero
| xy | 2 = ( xy ) 2 = x 2 y 2 = | x | 2 | y | 2 = (| x | | y |) 2 .