CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 11
Otra propiedad interesante del valor absoluto es que | x | ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a.
En efecto, si x ≥ 0 ambas desigualdades se reducen a x ≤ a, ya que a ≥ | x | ≥ 0 ⇒ a ≥ 0 ⇒ −a ≤ 0 ≤ x trivialmente. Y si x < 0 entonces lo anterior implica que
| x | ≤ a ⇔ | −x | ≤ a ⇔ −a ≤ −x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Una desigualdad muy importante satisfecha por el valor absoluto es la llamada desigualdad triangular:
| x + y | ≤ | x | + | y |, ∀x, y ∈ F.
Como ambos miembros de esta desigualdad son no negativos, basta probar su cuadrado. Y, en efecto, se tiene
| x + y | 2 =( x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 ≤ x 2 + 2 | xy | + y 2 = | x | 2 + 2 | x | | y | + | y | 2 =(| x | + | y |) 2.
Aplicando repetidamente la desigualdad triangular se demuestra la siguiente generalización de dicha desigualdad:
n∑ n∑ x ∣ i ∣ ≤ | x i |, ∀x 1,..., x n ∈ F. i = 1 i = 1
1.5.1. Máximo y mínimo Si x, y ∈ F, se define mín( x, y) =
{ x, x ≤ y y, x > y.
De la definición se sigue que mín( x, y) = mín( y, x), y mín( x, y) ≤ x, mín( x, y) ≤ y, para todo x, y ∈ F. Análogamente, definimos
{ y, x ≤ y máx( x, y) = x, x > y.
Evidentemente, máx( x, y) = máx( y, x), y máx( x, y) ≥ x, máx( x, y) ≥ y, para todo x, y ∈ F. De hecho, las propiedades de máx se pueden deducir de las de mín observando que
máx( x, y) = − mín( −x, −y).