CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 11
Otra propiedad interesante del valor absoluto es que | x | ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a .
En efecto , si x ≥ 0 ambas desigualdades se reducen a x ≤ a , ya que a ≥ | x | ≥ 0 ⇒ a ≥ 0 ⇒ −a ≤ 0 ≤ x trivialmente . Y si x < 0 entonces lo anterior implica que
| x | ≤ a ⇔ | −x | ≤ a ⇔ −a ≤ −x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a .
Una desigualdad muy importante satisfecha por el valor absoluto es la llamada desigualdad triangular :
| x + y | ≤ | x | + | y |, ∀x , y ∈ F .
Como ambos miembros de esta desigualdad son no negativos , basta probar su cuadrado . Y , en efecto , se tiene
| x + y | 2 = ( x + y ) 2 = x 2 + 2xy + y 2 ≤ x 2 + 2 | xy | + y 2 = | x | 2 + 2 | x | | y | + | y | 2 = (| x | + | y |) 2 .
Aplicando repetidamente la desigualdad triangular se demuestra la siguiente generalización de dicha desigualdad :
n∑ n∑ x ∣ i ∣ ≤ | x i |, ∀x 1 ,..., x n ∈ F . i = 1 i = 1
1.5.1 . Máximo y mínimo Si x , y ∈ F , se define mín ( x , y ) =
{ x , x ≤ y y , x > y .
De la definición se sigue que mín ( x , y ) = mín ( y , x ), y mín ( x , y ) ≤ x , mín ( x , y ) ≤ y , para todo x , y ∈ F . Análogamente , definimos
{ y , x ≤ y máx ( x , y ) = x , x > y .
Evidentemente , máx ( x , y ) = máx ( y , x ), y máx ( x , y ) ≥ x , máx ( x , y ) ≥ y , para todo x , y ∈ F . De hecho , las propiedades de máx se pueden deducir de las de mín observando que
máx ( x , y ) = − mín ( −x , −y ).