CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 12
El valor absoluto de x ∈ F se expresa mediante el máximo por la fórmula | x | = máx ( x , −x ). Recíprocamente , mín y máx se expresan en términos de | · | por las fórmulas
mín ( x , y ) = 1 1 ( x + y − | x − y |), máx ( x , y ) = 2 2 ( x + y + | x − y |).
En general , si { x 1 ,... , x n } es un subconjunto finito de F podemos definir mín ( x 1 ,... , x n ) y máx ( x 1 ,... , x n ) por inducción . Al igual que antes , tanto mín como máx no dependen de como ordenemos sus argumentos ,
mín ( x 1 ,..., x n ) ≤ x i ≤ máx ( x 1 ,... , x n ), ∀i = 1,2 ,... , n , y máx ( x 1 ,... , x n ) = − mín ( −x 1 ,... , −x n ).
1.6 . Axioma del supremo
Un subconjunto A de un cuerpo ordenado F está acotado superiormente ( resp . inferiormente ) si ∃x ∈ F tal que
a ≤ x ,
∀a ∈ A ( resp . x ≤ a , ∀a ∈ A ).
A cualquier número x con la propiedad anterior le llamaremos una cota superior ( resp . cota inferior ) de A . Diremos que A es un conjunto acotado si A es acotado a la vez superior e inferiormente . Escribiremos A ≤ x si x es una cota superior de A , y x ≤ A si x es una cota inferior de A . Es importante observar que una cota inferior ( o superior ) de A no tiene por qué existir , ni ser única , ni pertenecer a A .
Ejemplo 1.17 .
El conjunto vacío es acotado , ya que cualquiera que sea x ∈ F se cumplen trivialmente las dos afirmaciones “ ∀a ∈ ∅ , a ≤ x ” y “ ∀a ∈ ∅ , x ≤ a ” al no haber ningún a ∈ ∅ . En particular , todo elemento de F es a la vez una cota superior e inferior de ∅ .
Si F es un cuerpo ordenado , entonces el conjunto F no está acotado ni superior ni inferiormente . En efecto , si por ejemplo F estuviera acotado superiormente entonces existiría x ∈ F tal que a ≤ x , ∀a ∈ F . Esto es claramente contradictorio si tomamos a = x + 1 .