CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 12
El valor absoluto de x ∈ F se expresa mediante el máximo por la fórmula | x | = máx( x, −x). Recíprocamente, mín y máx se expresan en términos de | · | por las fórmulas
mín( x, y) = 1 1( x + y − | x − y |), máx( x, y) = 2 2( x + y + | x − y |).
En general, si { x 1,..., x n } es un subconjunto finito de F podemos definir mín( x 1,..., x n) y máx( x 1,..., x n) por inducción. Al igual que antes, tanto mín como máx no dependen de como ordenemos sus argumentos,
mín( x 1,..., x n) ≤ x i ≤ máx( x 1,..., x n), ∀i = 1,2,..., n, y máx( x 1,..., x n) = − mín( −x 1,..., −x n).
1.6. Axioma del supremo
Un subconjunto A de un cuerpo ordenado F está acotado superiormente( resp. inferiormente) si ∃x ∈ F tal que
a ≤ x,
∀a ∈ A( resp. x ≤ a, ∀a ∈ A).
A cualquier número x con la propiedad anterior le llamaremos una cota superior( resp. cota inferior) de A. Diremos que A es un conjunto acotado si A es acotado a la vez superior e inferiormente. Escribiremos A ≤ x si x es una cota superior de A, y x ≤ A si x es una cota inferior de A. Es importante observar que una cota inferior( o superior) de A no tiene por qué existir, ni ser única, ni pertenecer a A.
Ejemplo 1.17.
El conjunto vacío es acotado, ya que cualquiera que sea x ∈ F se cumplen trivialmente las dos afirmaciones“ ∀a ∈ ∅, a ≤ x” y“ ∀a ∈ ∅, x ≤ a” al no haber ningún a ∈ ∅. En particular, todo elemento de F es a la vez una cota superior e inferior de ∅.
Si F es un cuerpo ordenado, entonces el conjunto F no está acotado ni superior ni inferiormente. En efecto, si por ejemplo F estuviera acotado superiormente entonces existiría x ∈ F tal que a ≤ x, ∀a ∈ F. Esto es claramente contradictorio si tomamos a = x + 1.