CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 13
En el cuerpo Q , el conjunto A = { a ∈ Q : a < 1 } está acotado superiormente , siendo las cotas superiores de A los racionales x ≥ 1 . En particular , en este caso ninguna cota superior de A pertenece a A . Además , es claro que A no está acotado inferiormente .
Definición 1.18 . Si A ⊂ F es un conjunto acotado superiormente , una cota superior mínima de A es un número x ∈ F tal que
i ) x es una cota superior de A : a ≤ x , ∀a ∈ A ii ) Si y es cualquier cota superior de A , entonces x ≤ y
De la definición se deduce que si x e y son dos cotas superiores mínimas de A entonces x = y . Por tanto , un conjunto acotado superiormente sólo puede tener a lo sumo una cota superior mínima . Si tal cota superior mínima existe , la denotaremos simplemente por supA ( supremo de A ). Análogamente , si A ⊂ F está acotado inferiormente una cota inferior máxima de A es un número x ∈ F tal que
i ) x es una cota inferior de A : x ≤ a , ∀a ∈ A ii ) Si y es cualquier cota inferior de A , entonces y ≤ x
Al igual que antes , un conjunto acotado inferiormente sólo puede tener a lo sumo una cota superior mínima , a la que denotaremos por inf A ( ínfimo de A ). Se demuestra fácilmente que
si denotamos por −A el conjunto
inf A = − sup ( −A ),
−A = { −x : x ∈ A } = { x : −x ∈ A }.
Ejemplo 1.19 . El conjunto vacío ( que está acotado superior e inferiormente ) no tiene ínfimo ni supremo . En efecto , si por ejemplo existiera x = sup ∅ entonces para todo a ∈ F se cumpliría x ≤ a ( ya que todo elemento de F es una cota superior de ∅ ), y por tanto x sería una cota inferior de F .
Ejemplo 1.20 . En el cuerpo Q hay subconjuntos no vacíos acotados superiormente pero sin supremo . Por ejemplo , considérese el conjunto
A = { a ∈ Q : a ≤ 0 } ∪ { a ∈ Q : a 2 ≤ 2 } .
Vamos a ver que este conjunto , que obviamente no es vacío , está acotado superiormente pero no posee supremo . En primer lugar , es claro que A está acotado superiormente ; por ejemplo , A ≤ 2 ( ya que 2 ≥ 0 , y a > 2 ⇒ a 2 > 4 ). Intuitivamente , el hecho de que A no tiene supremo se debe a que el supremo “ natural ” de A , que sería √ 2 , no es un elemento del cuerpo ( no hay