CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 13
En el cuerpo Q, el conjunto A = { a ∈ Q: a < 1 } está acotado superiormente, siendo las cotas superiores de A los racionales x ≥ 1. En particular, en este caso ninguna cota superior de A pertenece a A. Además, es claro que A no está acotado inferiormente.
Definición 1.18. Si A ⊂ F es un conjunto acotado superiormente, una cota superior mínima de A es un número x ∈ F tal que
i) x es una cota superior de A: a ≤ x, ∀a ∈ A ii) Si y es cualquier cota superior de A, entonces x ≤ y
De la definición se deduce que si x e y son dos cotas superiores mínimas de A entonces x = y. Por tanto, un conjunto acotado superiormente sólo puede tener a lo sumo una cota superior mínima. Si tal cota superior mínima existe, la denotaremos simplemente por supA( supremo de A). Análogamente, si A ⊂ F está acotado inferiormente una cota inferior máxima de A es un número x ∈ F tal que
i) x es una cota inferior de A: x ≤ a, ∀a ∈ A ii) Si y es cualquier cota inferior de A, entonces y ≤ x
Al igual que antes, un conjunto acotado inferiormente sólo puede tener a lo sumo una cota superior mínima, a la que denotaremos por inf A( ínfimo de A). Se demuestra fácilmente que
si denotamos por −A el conjunto
inf A = − sup( −A),
−A = { −x: x ∈ A } = { x: −x ∈ A }.
Ejemplo 1.19. El conjunto vacío( que está acotado superior e inferiormente) no tiene ínfimo ni supremo. En efecto, si por ejemplo existiera x = sup ∅ entonces para todo a ∈ F se cumpliría x ≤ a( ya que todo elemento de F es una cota superior de ∅), y por tanto x sería una cota inferior de F.
Ejemplo 1.20. En el cuerpo Q hay subconjuntos no vacíos acotados superiormente pero sin supremo. Por ejemplo, considérese el conjunto
A = { a ∈ Q: a ≤ 0 } ∪ { a ∈ Q: a 2 ≤ 2 }.
Vamos a ver que este conjunto, que obviamente no es vacío, está acotado superiormente pero no posee supremo. En primer lugar, es claro que A está acotado superiormente; por ejemplo, A ≤ 2( ya que 2 ≥ 0, y a > 2 ⇒ a 2 > 4). Intuitivamente, el hecho de que A no tiene supremo se debe a que el supremo“ natural” de A, que sería √ 2, no es un elemento del cuerpo( no hay