CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 14
ningún racional cuyo cuadrado sea 2). Veamos la demostración rigurosa de este hecho. Para ello utilizamos las siguientes identidades:
x ∈ Q, y = x( x2 + 6) 3x 2 + 2 = ⇒ y − x = 2x( 2 − x2)
3x 2 + 2, y2 − 2 =( x2 − 2) 3( 3x 2 + 2) 2.
Nótese que x ∈ Q ⇒ y ∈ Q, ya que 3x 2 + 2 ≥ 2 > 0. Supongamos que existiera x = supA. Si x ∈ A, entonces x ≥ 1 > 0( ya que 1 ∈ A), de donde se sigue que x 2 ≤ 2, lo cual a su vez es equivalente a x 2 < 2. Si tomamos y como en la fórmula anterior, entonces y−x > 0, y 2 −2 < 0 implica que y ∈ A e y > x = supA, lo que es contradictorio. Supongamos ahora que x / ∈ A. Entonces x 2 > 2 y x > 0, y definiendo otra vez y como antes se tendrá y > 0, y − x < 0, y 2 − 2 > 0. De la primera y la tercera de estas desigualdades se sigue que y es una cota superior de A, que es estrictamente menor que sup A por la segunda desigualdad. De nuevo llegamos a una contradicción.
Es precisamente el hecho de que cualquier conjunto no vacío acotado superiormente posee supremo la propiedad esencial de la que carece el conjunto de los números racionales, y que sirve para definir y caracterizar al conjunto de los números reales:
Definición 1.21. El conjunto R de los números reales es un cuerpo ordenado que goza de la siguiente propiedad( axioma del supremo):
Si A ⊂ R está acotado superiormente y A ≠ ∅, entonces existe el supremo de A.
En otras palabras, R es un cuerpo ordenado en el que cualquier subconjunto no vacío y acotado superiormente posee supremo. Naturalmente, para que esta definición tenga sentido hacen falta dos cosas:
i) Que haya algún cuerpo ordenado en el que se cumpla el axioma del supremo.
Esto se puede demostrar de varias formas, lo que equivale a otras tantas construcciones explícitas de los números reales( sucesiones de Cauchy, cortaduras de Dedekind, etc.)
ii) Que esencialmente haya un sólo cuerpo ordenado en el que se verifique el axioma del supremo. En efecto, se demuestra que si R 1 y R 2 son dos cuerpos ordenados en los que se verifica el axioma del supremo entonces R 1 y R 2 son equivalentes( isomorfos, en el lenguaje matemático), en el sentido de que existe una biyección entre R 1 y R 2 que respeta las operaciones de cuerpo y la relación de orden( y, por tanto, la acotación de los conjuntos y los supremos).
En otras palabras, lo esencial del cuerpo R de los números reales es que R es un conjunto con dos operaciones +: R × R → R, ·: R × R → R