Introduccion al calculo 1 05/05/13 | Page 18

CAPÍTULO 1 . LA RECTA REAL 14
ningún racional cuyo cuadrado sea 2 ). Veamos la demostración rigurosa de este hecho . Para ello utilizamos las siguientes identidades :
x ∈ Q , y = x ( x2 + 6 ) 3x 2 + 2 = ⇒ y − x = 2x ( 2 − x2 )
3x 2 + 2 , y2 − 2 = ( x2 − 2 ) 3 ( 3x 2 + 2 ) 2 .
Nótese que x ∈ Q ⇒ y ∈ Q , ya que 3x 2 + 2 ≥ 2 > 0 . Supongamos que existiera x = supA . Si x ∈ A , entonces x ≥ 1 > 0 ( ya que 1 ∈ A ), de donde se sigue que x 2 ≤ 2 , lo cual a su vez es equivalente a x 2 < 2 . Si tomamos y como en la fórmula anterior , entonces y−x > 0 , y 2 −2 < 0 implica que y ∈ A e y > x = supA , lo que es contradictorio . Supongamos ahora que x / ∈ A . Entonces x 2 > 2 y x > 0 , y definiendo otra vez y como antes se tendrá y > 0 , y − x < 0 , y 2 − 2 > 0 . De la primera y la tercera de estas desigualdades se sigue que y es una cota superior de A , que es estrictamente menor que sup A por la segunda desigualdad . De nuevo llegamos a una contradicción .
Es precisamente el hecho de que cualquier conjunto no vacío acotado superiormente posee supremo la propiedad esencial de la que carece el conjunto de los números racionales , y que sirve para definir y caracterizar al conjunto de los números reales :
Definición 1.21 . El conjunto R de los números reales es un cuerpo ordenado que goza de la siguiente propiedad ( axioma del supremo ):
Si A ⊂ R está acotado superiormente y A ≠ ∅ , entonces existe el supremo de A .
En otras palabras , R es un cuerpo ordenado en el que cualquier subconjunto no vacío y acotado superiormente posee supremo . Naturalmente , para que esta definición tenga sentido hacen falta dos cosas :
i ) Que haya algún cuerpo ordenado en el que se cumpla el axioma del supremo .
Esto se puede demostrar de varias formas , lo que equivale a otras tantas construcciones explícitas de los números reales ( sucesiones de Cauchy , cortaduras de Dedekind , etc .)
ii ) Que esencialmente haya un sólo cuerpo ordenado en el que se verifique el axioma del supremo . En efecto , se demuestra que si R 1 y R 2 son dos cuerpos ordenados en los que se verifica el axioma del supremo entonces R 1 y R 2 son equivalentes ( isomorfos , en el lenguaje matemático ), en el sentido de que existe una biyección entre R 1 y R 2 que respeta las operaciones de cuerpo y la relación de orden ( y , por tanto , la acotación de los conjuntos y los supremos ).
En otras palabras , lo esencial del cuerpo R de los números reales es que R es un conjunto con dos operaciones + : R × R → R , · : R × R → R